Re: [微積] 請教一題證明
※ 引述《stacyfish (欣)》之銘言：
: n
: lim 1/(n^k+1) Σ i^k = 1/(k+1)
: n→∞ i=1
: n
: 該題給的hint是 Σ [i^(k+1)-(i-1)^(k+1)] = n^(k+1)
: i=1
: 有嘗試使用數學歸納法~
: 但還是找不到hint該使用在什麼地方?
: 想請板上大大解惑 謝謝!
把這個極限式為某個積分的黎曼和是最快的辦法，但如果還沒提到積分
下面是一個做法 let b_n = n^(k+1) - (n-1)^(k+1)
a_n = n^k, note a_n , b_n 遞增且 a_n, b_n -> ∞ as n -> ∞
b_n/a_n -> k+1 as n -> ∞, 也就是 a_n/b_n -> 1/(k+1) as n -> ∞
我們所要證明的 是 lim (Σa_i)/(Σb_i) = 1/(k+1)
given e >0 , choose M > 0 , such that for n>=M, |a_n/b_n - 1/(k+1)| < e
再取 N > M, 使得 n>N 時, (Σa_i)/a_n < e , (Σb_i)/b_n < e 這裡取和 1 to M
然後計算 |(Σa_i)/(Σb_i) - 1/(k+1)|
不難證明極限為 1/(k+1)
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