Re: [分析] 高微
※ 引述《jacky7987 (憶)》之銘言：
: 不好意思小弟又來尋求大家的協助QQ
: sin(x^a)
: 1. Assume a>0 and b>0. Find all (a,b) such that --------- is continuous
: 1+x^b
: uniformly on {x|x>0}.
: 其實我對這類型的題目都蠻不知從何下手的
: 不管是均勻連續還是均勻收斂等等
: 可以請教大家這類型的題目要怎麼下手或思考比較好
: 感恩
Orz...這題剛剛做好久...我沒看到a>0 , b>0 反而去考慮所有情況
不過發現了：Assume a€R , b€R , 滿足 (a,b) s.t. f(x)€U.C(0,+∞)
是 (a≧0,b€R) , (a<0,b≧0)
如果你只要限制在 a>0 , b>0 , 答案就是整個a>0 , b>0
而且後段就不用看了...不過麻煩的就是後段= =
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首先用一個小工具：
<Lemma>
if f€C([a,+∞)) , lim f(x) exists
x→∞
then f€UC[a,+∞)
證明爬文一下就有了 也很簡單
接下來把(0,+∞) 想成 (0,r] U [r,+∞)
然後就考慮下列九種情況
1.(a=0,b=0)：
sin1
f(x) = ── on (0,+∞) , and f(x)€UC(0,+∞) (Constant function)
2
2.(a=0,b>0)：
sin1
f(x) = ─── , x€(0,+∞)
1+x^b
Define f(0) = sin1
then we have f(x)€C[0,+∞) (去check在0那點的右連續是否等於f(0))
Since lim f(x) = 0 , by Lemma , f(x)€UC[0,+∞)
x→+∞
so f(x)€UC(0,+∞)
接下來的 (a=0,b<0) , (a>0,b=0) , (a>0,b>0) ,(a>0,b<0) , (a<0,b<0)
都可以用類似這種步驟去證明：
一、用 lim f(x) 去定義f(0)的值，所以得到新的f(x)€C[0,+∞)
x→0+
二、去check lim f(x) exists , by Lemma , 得到f(x)€UC[0,+∞)
x→+∞
三、所以f(x)€UC(0,+∞)
接下來不合的情況就是 (a<0,b=0) , (a<0,b>0)
1. (a<0,b=0)：
sin(x^a)
f(x) = ───── on (0,+∞)
2
take x_n = (2nπ)^(1/a) , y_n = (2nπ+ π/2)^(1/a)
you will find that：for all δ>0 ,
there exists 0 <│x_(n_δ) - y_(nδ)│< δ
s.t. │f(x_(n_δ)) - f(y_(n_δ))│>= 1/2 (代入就知道了)
詳細的證明不寫了...口述一下：
你任給一個小的δ，因為x_n → 0，y_n → 0，而且x_n =/= y_n
所以會存在x_(n_δ)與y_(n_δ)使他們0 <│x_(n_δ) - y_(nδ)│< δ
進而使│f(x_(n_δ)) - f(y_(n_δ))│>= 1/2
意思就是說：不論x_n,y_n多麼靠近，他們的函數值都會>=1/2
所以 f(x)在(0,+∞)不會uniformly continuous
2.(a<0,b>0)
方法同上, x_n,y_n也跟上面取一樣
1
只是差別在│f(x_(n_δ)) - f(y_(n_δ))│= ────────
1+(y_(n_δ))^b
可是因為 lim x^b = 0
x→0+
所以一定存在r>0 , s.t. when 0 < x < r, x^b < 1
1 1
so ─── > ─── when 0 < x < r
1+x^b 2
所以當x_n , y_n夠靠近時
而且r又是fixed, 所以一定找的到x_(n_δ) , y_(n_δ)
使他們0 <│x_(n_δ) - y_(n_δ)│< δ
而且使 y_(n_δ) < r (因為y_n會趨近於0)
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1
主要是因為 sin(──) 在(0,r] 不uniformly continuous去證的
x
因為a<0時 會讓x^a→+∞ as x→+0
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◆ From: 140.114.81.91
※ 編輯: znmkhxrw 來自: 140.114.81.91 (09/16 16:04)
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