Re: [線代] 高斯消去法求反矩陣的原理
※ 引述《kane950544 (老伯公)》之銘言：
: 我們在高中學過
: [A|I]經過列運算可以化成[I|A^(-1)]的形式
: 所以反矩陣A^(-1)就求出來了
: 可是我一直都不曉得原理
: 自己翻書也沒找到解答
: 有人可以解答我的疑惑嗎? 謝謝
要回答這個問題就是在證明以下四者等價：
(1) A 可逆,
(2) Ax = 0 只有唯一解 x = 0
(3) A 可經由列運算化簡為 I
(4) A 可表為有限個基本矩陣的乘積
證明： (1) => (2)
顯然 x = 0 是 Ax = 0 的一組解, 命 x = y 是 Ax = 0 的另一組解,
將 A 0 = Ay 兩邊同乘 A^{-1} 得到 y = 0.
(2) => (3)
若 A 無法經由列運算化簡為 I, 則 A 的最簡列梯形矩陣 A' 至少有一列全為 0,
此時 A'x = 0 至少有一個自由變數, 迫使 Ax = 0 有無限多解, 矛盾.
(3) => (4)
因為每一次列運算皆可轉成左乘一個基本矩陣，當 A 可經由有限次基本列運算
化為 I 時表示可經由左乘有限個基本矩陣將 A 化為 I, 假設這有限個基本矩陣
的乘積是 E, 則 EA = I.
(4) => (1)
因為基本矩陣皆可逆，所以有限個基本矩陣之乘積也可逆，故 A = E^{-1} 也可
逆。
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