Re: [微積] 高微的小問題
※ 引述《hpuse (zhbtdhetg)》之銘言：
: 我想證明f在S的任何compact subset 連續 則f在S連續
: 我設p為S的任何點
: 1.請問是不管怎樣 都會存在一個數列收斂至p嗎?
看你的數列有沒有其它要求. 如果今天限定說, 這個數列不能取 p 點
那就不一定會有這個數列的存在的. 比如說, S 是 finite set, 這樣的話
在 Hausdorff space 等級以上的空間(如果不知道 Hausdorff 是什麼的話,
n
你可以用 |R 去看, 我只是講比較一般化的拓樸的情況.), S 是compact.
但是, 就找不到一個數列 {x } 在 S\{p} 使得 x 收斂到 p.
n n
: LET S裡的{x_n}且x_n收斂至p
: 令W={p,x_1,x_2,.......,x_n,.......}
: 則W is a compact set
: (這個我會證)
: 之後利用f在W連續
: 2.請問我可以說f在W連續,所以在W的每個點連續,所以f在p點連續
: 進而推到f在S連續嗎?
: 還是要利用f在W連續且x_n收斂至p
: 所以f(x_n)收斂至f(p)才能講f在p點連續?
對, 要這樣才行.
: 3.另外我想問一個證明
: 因為手邊沒有原文書
: 想問f在p點連續if and only if 存在一個數列x_n收斂至p
: 則f(x_n)收斂至f(p)
: 的epsilon-delta證明為何?
要改一下
Let f: A → B and p be in A. Then
f is continuous at p if and only if for each {x } in A with
n
{x } converges to p, we have {f(x )} converges to f(p).
n n
[Proof]
(=>) Let {x } be in a such that {x } converges to p.
n n
Then for any ε＞ 0, there is a δ ＞ 0 such that
if x is in A and │x－p│＜δ, │f(x)－f(p)│＜ε.
So, we can find an nature number N such that
n ≧ N => │x －p│＜δ => │f(x )－f(p)│＜ε.
n n
(<=) Assume not, f is not continuous at p. Then
we can find an ε＞ 0 such that for any nature number n,
1
there is a y in A such that │y －p│＜ ── and
n n n
│f(y )－f(p)│≧ε. So {y } is in A and converges to p, but
n n
{f(y )} does not converges to f(p).
n
--
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※ 編輯: Minkowski 來自: 140.123.62.134 (09/01 17:13)
推
09/07 11:20, , 1F
09/07 11:20, 1F
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