※ 引述《wickeday (WickeDay)》之銘言：
: 這題可能沒有這麼難，是我想複雜了
: 先說一下想法好了，第二個極限（有積分的那個）
: 其實在某種程度上來說就等於第三個極限
: 我想你可以證明如果第三個極限存在的話
: 那麼就一定與第二個極限相等
我曉得..就是羅必達...但就卡在我無法證明第三個極限的存在性..
: 不過這不是這題的重點，就不贅述了
: 重點是要舉反例的話，第三個極限就不能存在
: 為了方便，就舉 n=0 的反例
: 先證一個還滿顯然的Lemma
: Lemma: For any e>0, there exists a C^1 function g(x) defined on [0,1]
: such that g(x)>=0, g(0)=g(1)=0, g(1/2)=1, g'(0)=g'(1)=0, and
: 1
: ∫ g(x)dx < e.
: 0
: pf: e=1 時自己亂造吧，看要用多項式、三角函數東湊西湊應該都有。
: e<1 就把剛剛那個函數（e=1的，say h(x)），拿去東弄西弄
: g(x)= h(x/e-1/(2e)+1/2), 1/2-e/2<=x<=1/2+e/2;
: 0, otherwise.
: By Lemma, for any k>0, there exist f_k(x) such that
: f_k(x)>=0, f_k(0)=f_k(1)=0, f_k(1/2)=1, f_k'(0)=f_k'(1)=0, and
: 1
: ∫ f_k(x)dx < 1/k.
: 0
: Define
: f(x) = f_k(x-k-1)/x, k<=x<=k+1. (f_0:=0)
應該是 f_k(x-k)/x
: then (1) f(x)>=0.
: (2) f(x) belong to C^1
: (3) f(x)<=1/x （imply 第一個極限為 0)
: ∞ ∞
: (4)∫f(x)dx <= Σ 1/k^2 < ∞ （imply 第二個極限為 0）
: 0 k=1
: (5) xf(x)=1 for x=1+1/2, 2+1/2, 3+1/2, ..., and
: xf(x)=0 for x=1, 2, 3, ... （imply 第三個極限不存在）
: 大致上就這樣吧，應該沒什麼大問題，
: 不知道有沒有什麼簡單的反例？
很漂亮的做法...那如果我的結果不要這麼強呢
原本是問
f(x) = o(1/x^(n+1)) as x->oo
現在知道這是錯的了
那我改問下面是否是對的
f(x) = O(1/x^(n+1)) as x->oo
也就是說 x^(n+1)*f(x) 會不會有界??
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