Re: [線代] 證明題
: ※ 引述《wakke (合理化勒索)》之銘言：
: : Let A be an n*n matrix over R such that A^5=I .Here, as usual,
: : I denotes the identity matrix.
: : Show that if the trace tr(A)=0 , then Av=v holds,
: : for some non-zero vector v
直接拉到 C 上面做：
因為 A^5 = I， A 的特徵值必須是 exp(i 2n pi/5 )。
因為 A 是實數矩陣，複數特徵值必須成對出現。
假設有 p 對 {exp(i 2pi/5), exp(i 8 pi/5)}
q 對 {exp(i 4pi/5), exp(i 6 pi/5)}
m 個 1
tr A = 0
--> 2 p cos(2pi/5) + 2 q cos(4 pi/5) + m = 0
剛好 cos(2pi/5) + cos(4pi/5) = -1/2
因為兩個 cos 個別都是無理數，除非 p = q，
不然前面兩項不可能湊出一個有理數跟 m 抵銷。
所以得到 p = q = m。 A 至少有一個特徵值是 1。
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