Re: [微積] 變數代換後的上下限疑問
※ 引述《YmemY (*＊米)》之銘言：
: 有個積分:
: 1 ＿＿＿
: ∫ √2-x^2 dx 令x=√2cosθ 上下限要改成怎樣才對呢？
: 0
: 是π/2 ~ π/4 還是 -π/2 ~ -π/4 ??
: 我認為dx是正的，如果上下限用第一種改法，dθ會是負的，所以
: dx= √2(-sinθ)(-dθ) 這樣對嗎?
: 反之，第二種上下限因為dx和dθ都是正的，所以不用加負號．
: （如果我的想法正確的話，書上的解答就錯了～）
dx= √2(-sinθ)(-dθ) , this is impossible
仍是 dx= √2(-sinθ)dθ
你要取π/2 ~ π/4 或是 -π/2 ~ -π/4 隨便你
因為你會有這兩種情況是在於在取 cosθ: 0 → 1/√2 時 要怎麼挑對吧
其實你不管怎麼取 θ: (k+1/2)π → π/4 + 2k'π or -π/4 + 2k''π
答案都會是一樣的
因為在代數變換的證明中
並未要求令的變換函數要1-1
只要你令的函數在原本的上下限有值且可微即可
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◆ From: 111.251.225.251
推
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