Re: [中學] 三題期望值

看板Math作者phs (世故人情情難還...)時間14年前 (2011/04/26 12:54)推噓1(1推 0噓 19→)

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※ 引述《ii0 (ii0)》之銘言： : 有兩個期望值不太懂，希望版友們指教 : 1. n大於等於2，1號到n號籤各一支，每支抽中機會均等，任抽二隻，其差的絕對值的期 : 望值為？ : Ans.(n+1)/3 (解): 1號到n號籤,其差的絕對值最小為1,最大為 n-1 任抽兩支, 設抽中編號為 a 和 b ,則 |a-b| = 1,2,3.......,n-1 |a-b| = 1 => {a,b}={1,2},{2,3},......{n-1,n} 共 (n-1)組 |a-b| = 2 => {a,b}={1,3},{2,4},......{n-2,n} 共 (n-2)組 ..... |a-b| = n-1 => {a,b}={1,n} 共1組 (n-1) (n-2) 1 故所求 = 1*-------- + 2*-------- + .........+ (n-1)*------- C(n,2) C(n,2) C(n,2) 1 = --------sum_{k=1}^{n-1} k(n-k) C(n,2) 1 (n-1)n (n-1)n (2n-1) = -------- [n(------) - -------------] C(n,2) 2 6 1 n(n-1) n + 1 = --------- ------ [3n -(2n-1)] = ------- n (n-1) 6 3 -------- 2 2.帶中有1至10球各一個，自袋中一次取出二個，求其號碼機的期望值為？ : Ans. 88/3 (解): 設取出編號為a及b 兩球,則 a = 1 , b = 2,3,.....,10 => ab = 2,3,4,5,6,7,8,9,10 a = 2 , b = 3,4,.....,10 => ab = 6,8,10,12,14,16,18,20 a = 3 , b = 4,5,.....,10 => ab = 12,15,18,21,24,27,30 a = 4 , b = 5,6,.....,10 => ab = 20,24,28,32,36,40 a = 5 , b = 6,7,8,9,10 => ab = 30,35,40,45,50 a = 6 , b = 7,8,9,10 => ab = 42,48,54,60 a = 7 , b = 8,9,10 => ab = 56,63,70 a = 8 , b = 9,10 => ab = 72,80 a = 9 , b = 10 => ab = 90 1 故號碼積期望值 = ---------(2+3+4+5+7+9+14+15+16+21 C(10,2) +27+28+32+35+36+42+45+48 +50+54+56+60+63+70+72+80+90) 2 + -------- (6+8+10+12+18+20+24+30+40) C(10,2) = (1/45)(984) + (2/45)(168) = 88/3 在下想問的是，這題如果是用5.5*5.5的話，就會是錯的 ~~~~~~~不懂? 不好意思,小弟只會土法練鋼:P 但是如果是下面這一題的話 : 3.若由袋中一次取出3球，號碼和為k，可得k元，則其期望值為？ (解): 設取出編號 a , b , c 三球 {a,b,c} = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} 6 =< a+b+c =< 27 1 所求期望值 = --------[1*(6+7+26+27) + 2*(8+25) + 3*(9+24) C(10,3) + 4*(10+23) + 5*(11+22) + 7*(12+21) + 8*(13+20) + 8*(14+19) + 10*(15+18) + 10*(16+17)] = (1/120)(33)*(2+2+3+4+5+7+8+8+10+10) = 649/40 這題用(5.5)*3的話，就會是對的 : 不知道為什麼會這樣，第三題可以直接算，第二題不行？ : 先謝謝大家的回答 -- -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.112.101.149 ※ 編輯: phs 來自: 140.112.101.149 (04/26 15:27) ※ 編輯: phs 來自: 140.112.101.149 (04/26 16:17)

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