[中學] 證明根號為無理數

看板Math作者 (俊豪)時間14年前 (2011/03/31 01:11), 編輯推噓1(1推 0噓 5→)
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剛在整理櫃子時 突然看到一張考卷掉下來 看了一下 原來是高一的平時考卷 看到一題整題空白沒寫的證明題： 試證根號2為無理數。 想了一下 只記得是用反證法 q ___ 設根號2 可以寫成分數 ------> p 接下來就毫無頭緒了= = 想不到過了這麼久的時間這題目還是沒有學起來…… 有人還記得接下來要怎樣證明嗎？ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 114.27.146.86
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03/31 11:49, , 1F
假設根號2是有理數，可以寫成q/p gcd(q,p)=1
03/31 11:49, 1F
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03/31 11:52, , 2F
之後在證出gcd(q,p)>1 矛盾
03/31 11:52, 2F
推
03/31 19:15, , 3F
設 √2 = q/p \in Q, (p,q)=1
03/31 19:15, 3F
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03/31 19:15, , 4F
then 2 = q^2/p^2 => 2p^2 = q^2 => 2 | q^2 => 2|q
03/31 19:15, 4F
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03/31 19:15, , 5F
設 q = 2k. 得 2p^2 = q^2 = 4k^2 => p^2 = 2k^2
03/31 19:15, 5F
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03/31 19:16, , 6F
與上面同理, 推出 2 | p. 但是這與 (p,q)=1 矛盾.
03/31 19:16, 6F
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