[微積] 一題極限
最近剛開始教微積分(我高三)
才第二堂課就有一題跟老師討論了好久...囧
│x│-x
f(x)= ─────
│x│-x^2
求lim f(x) 為多少?
x→0
答案是給 不存在
因為左極限不等於右極限
左極限還好,就把│x│= -x代入,得
對於x<0
-2x 2
f(x)= ──── = ────
-x-x^2 1+x
所以f(x)的左極限是2
但,右極限的值是我跟老師討論的關鍵
老師是說把│x│= x 代入
得
對於x>0
x-x
lim f(x) = lim ─────
x→0+ x→0+ x-x^2
分母無論如何都是0,所以不存在
但,我的想法是
因為
對於x>0,
0
f(x)= ──── =0
x-x^2
把圖形畫出來後,很明顯可看出f(x)在x>0時是一個線性函數f(x)=0
用圖形來看,其右極限為0
(其中f(x)的值不存在,也就是斷點)
換句話說,f(x)可以寫成
f(x)=0, 對於x>0
2
f(x)= ────,對於x<0
1+x
那麼 lim f(x) 不就是0了嗎?
x→0+
為什麼這兩種方法得到的結果會不一樣呢?
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