Re: [機統] 勒貝格/微積分基本定理
※ 引述《LoreBeef (知識牛)》之銘言：
: a
: ∫ g(t)t^(n-1)dt = 0 ,a>0
: 0
: 書中(證明完備性時)提到說
: 由勒貝格積分理論，上式導致對所有a>0 ，P_a( g(T) = 0 ) = 1
: (下標a代表此機率跟a有關)
: 如果g為連續由微積分基本定理得g(a)a^(n-1)=0 , 又a>0
: 因此g(a)=0
: (這是證明完備性的條件)
: 黃色部分都不太懂，請問有人可以幫忙一下嗎
(這邊是否有個條件是g≧0 on [0,a]？)
因為在勒貝格積分裡，
一個非負可測函數ｆ的積分為零，若且唯若，ｆ = 0 almost everywhere.
用測度的角度看，就是f ≠ 0的集合是零測度。
用機率的角度看，就是ｆ = 0 的機率是1。
i.e. ｆ = 0 almost surely.
所以由積分式得到g(t)t^(n-1) = 0 a.s. on [0,a].
(這裡並不保證g(t)t^(n-1) = 0 on [0,a].)
又，因為g是連續 and g(a)a^(n-1) = 0 (這時候就可以拿掉 a.s.)
因為a^(n-1)是一正數，所以強迫 g(a) = 0.
: g(a)a^(n-1)=0
: 猜測是
: a
: ∫ g(t)t^(n-1)dt = 0 , 另F'(x) = f(x) = g(x)x^(n-1)
: 0
: a
: => ∫ g(t)t^(n-1)dt = F(a) - F(0) = 0 (微積分基本定理)
: 0
: => F(a) = F(0)
: 微分得
: => f(a) = f(0)
: => g(a)a^(n-1) = g(0)0^(n-1) =0
: => g(a)a^(n-1)=0
: 我有疑問的是紅色部分可不可以這樣推論?
小弟這學期才剛修實變，如有錯誤望請指正，謝謝 =)
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