Re: [中學] 甄選題
※ 引述《ristvakbean (有夠優秀)》之銘言：
: (1)若z1,z2都是複數,已知z1=(-1+3i)/(1+i),且|z2|+2(z2bar)=z1,求z2= ?
: Ans 4/3-i,1-i
: 我解出來得到z2=4/3-i,-i,但是4/3-i帶回去方程式又不合
畫圖只有 -i 一解
z1 = 1 + 2i
|z2| 假設為k
則 |z2| + 2(z2bar) = 1 + 2i 可被化成下列的圖
K(1,2)
Q
QQ
Q Q
Q Q 2k 故意畫的 不然看就知道1:2:根號5
Q Q
QQQQQQ
O k B(k,0) cos角O = 1/根號5
(我們的z1 就是向量OK = OB + BK)
用餘弦定理證明 4k^2 = k^2 + 根號5^2 - 2k根號5 (1/根號5)
3k^2 +2k - 5 = 0
k = -5/3 或 1
但很可惜的 k代表OB的x座標 必須為正 所以只有k=1一組
此組答案為
2(z2bar) = (1+2i) - 1 = 2i
所以 z2 = -i
---
那解答、代數解算出來的4/3-i在哪裡?
看一下 k = -5/3這個解 硬畫的話 會變成
K(1+2i)
Q
QQ
Q Q
Q Q 根號5
Q Q
QQQQQQ
B(-5/3) O(0)
1+2i = OK = OB + BK = -5/3 + 2(z2bar)
2(z2bar) = 8/3+2i
z2bar = 4/3 + i
z2 = 4/3 - i <--在這裡
那難怪帶回去不合了 即使複平面 長度依然不允許是負的
Q.E.D
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