Re: [幾何] 請問Riemann curvature的推導

看板Math作者Babbage (驕傲體現於健忘)時間15年前 (2011/01/08 20:32)推噓6(6推 0噓 21→)

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※ 引述《kuromu (kuromu)》之銘言： : Riemann curvature tensor 的兩種求法 : 一種是從 : μ μ μ ν : ▽ ▽ V - ▽ ▽ V = R V : α β β α ναβ : 另外一種是從 : parallel transport 一圈看變化 : 想請問一下這兩種方法的等價的原因是什麼 : 非常感謝<(_ _)> 首先要知道的觀念是"曲率完全是來自於connection" 給一個(拓樸)流形上任意兩點, 他們之間只會有拓樸上的關聯, 在這兩點上你可以各別定義切空間, 他們各自是一個向量空間, 這兩個切空間一點關聯都沒有. 你可以在任兩點的向量空間上指定一種對應關係, 也就是connection, 這樣就使得微分成為可能. 因為微分就是一種比較, 我們想要比較:當兩個向量場同時靠近一個點時, 他們的差異是多少. [就像微積分裡面, 當x趨近於a時, 我們想知道f(x)和f(a)差多少. 在微積分裡面, f(x)和f(a)如果都是實數, 那麼兩者之間的距離就可以用實數的減法來測量. 在我們這裡, 必須將一個向量(透過connection) 指定到另一個向量所在的向量空間中, 兩向量的距離才能被測量.] 所謂平行移動, 就是指"把向量藉由connection拉回"的這個動作. 以下我們考慮黎曼流形與Levi-Civita connection. 也就是說在剛剛的流形上的每一點的切空間定義一個內積, 使其光滑地依賴於點的變化. 在這種情況下, 可以證明存在一種好的connection(稱為LC), 使得平行移動之後向量長度和夾角被保持. (夾角是指"被移動的向量"與"所沿著的測地線之切向量"之間的夾角.) 在雙變數微積分中, 只要函數f(x,y)夠好, 則偏微分順序是可以交換的. 用平行移動所定義出來的微分, 是否也滿足同樣的性質呢? 答案是: 這和曲面本身有關(如果是像微積分中的xy-平面, 則可以交換.) 更精確地說, 交換微分之後會多一個差異項, 這一項和曲面的曲率有關. 回到你的問題, 從曲率的符號定義來看, 曲率是微分交換之後的差. 從平行移動來看, 先沿著哪一條線(trajectory of some coordinate function)移動就是先對哪一個變數微分. 而繞一圈的意思是: 從出發點走到對頂點有兩種走法, 代表不同微分順序. (想像從左下走到右上, 可以先往右再往上, 或者先往上再往右.) 考慮到方向性之後, 繞一圈就可以說是兩種微分順序的相減, 所以也就出現了曲率項. ps. 你的曲率公式只有在\alpha和\beta的積分曲線是一組互相獨立的參數時才有效. 否則會出現另一項和Lie bracket[\alpha,\beta] 有關的項.(在一般的曲率定義中會看到) -- -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 86.77.104.199 ※ 編輯: Babbage 來自: 86.77.104.199 (01/08 20:37)

推

Lindemann

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01/08 23:25, , 3^F

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01/08 23:26, , 4^F

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Lindemann

01/08 23:27, , 5^F

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"曲率為什麼要定義成這樣"似乎不是很容易回答的問題, 除了先前的解釋之外, 我也沒有什麼更進一步的看法. 至於為什麼會有Lie bracket, 是因為切平面在有曲率之前(也就是定義connection之前), 就已經會出現參數的依賴關係了. (例如在定義黎曼度量之前, 就可以定義Lie bracket.) Lie bracket測量兩個向量本身的"獨立性". 拿兩個不獨立的向量當作"計算微分交換的基底"時就不能確實說 "微分交換的差值全是曲率造成的", 因為有一部分是來自於基底向量的交互作用(也就是Lie bracket). 你也可以回想一下李導數的定義, 把向量場用one parameter family of diffeomorphisms(或者所謂的flow)來拉就可能會造成微分交換的差異, 也就是李導數(或者說李bracket). 這是和曲面曲率無關的. 並且注意到, 如果你的flow是一組真正的參數(也就是diffeomorphic to R^n), 那麼李導數就會是零.

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