Re: [其他] 每個無理數都可以用有限的文字定義出來 …

看板Math作者xcycl (XOO)時間13年前 (2010/12/29 12:14)推噓6(6推 0噓 4→)

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丟個關鍵字, wikipedia 上有個條目是 definable real number。節錄一些重點：正如 hcsoso 所說的, 能夠描述的數字只有可數無限多個, 而不能描述的實數有不可數多個, 理由是一樣的。能描述的實數構成一個 field, 但並不完備, 意指存在一個不能描述的實數, 是能夠描述的實數的數列極限, 這聽起來有點玄, 不過若是存在單一的邏輯述句可以描述這個序列, 那當然這序列的極限還是可以描述的。複數的可描述性比較單純點, 若一個複數可以被描述若且唯若實數部跟虛數部都能被描述。對 computer scientist (hcsoso?) 更有興趣的應該是 computable number 也就是存在演算法可以計算該數值的實數, 演算法本身就可以當作是描述該數值的邏輯述句, 所以 computable 代表 definable, 但反過來不為真。 ※ 引述《hcsoso (索索)》之銘言： : ※ 引述《citronrisky (呆)》之銘言： : : 圓周率PI是個無理數， : : 根號2也是個無理數， : : 這些無理數無法寫成有限位小數的形式， : : 但是可以用有限的文字來描述，如： : : PI: 圓的周長與直徑的比值 : : e: d(e^x)/dx = e^x : : sqrt(2): x^2 = 2 之正數解 : : 請問， : : 每一個無理數都可以用有限文字來描述嗎? : 其實是個還蠻有趣的問題! : 這關係到 "描述的文字" 本身的特性; : 如果我們把 "描述" 想成是一個函數從 "描述的文字集" 到 "被描述的文字集", : (在這裡被描述的就是實數) : 那麼一個 bijection 應該就是表示每個文字都能被獨特的描述. : 為了讓一個 "描述" 有意義, : 我們應該限制描述的文字集每個元素長度必須是有限的, : 不然無窮小數展開就是一種描述. : 在這個意義下, 如果所謂的 "字母" 不夠時, 實數是無法被描述的. : 想像如果是用電腦的語言, 也就是描述文字集為 {0,1}* : (這個記號表示所有由 0 與 1 形成的字串) : 那麼我們可以知道是不可能描述實數的, : 因為整個 {0,1}* 只有可數無限. : 同理可推有限的字母集都不行. : 即使我們的描述語言能容許使用自然數, 也就是 N*, : 還是沒有辦法的, 理由相同. : 但只要描述的語言本身字母也是不可數的, 如 R^*, : 那就可以描述了, 但這樣的 "描述" 對我們來說不是很有意義, : 原因是這個 "描述別人的文字集" 還是沒有辦法 "被描述", : 頂多只能將一些在某個文字集下可能要用很長的字串描述的數字, : 換成在另一個文字集下較短的字串罷了. : 總而言之, 假如我們使用人類的語言 (如中文), : 因為字母集是有限的, : 我們即使用千奇百怪的方式定義了很多無理數, : 仍然有不可數無窮個無裡數仍然是沒有辦法被描述的. -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 78.109.182.40

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loteslogin

12/29 13:02, , 1^F

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※ 編輯: xcycl 來自: 78.109.182.40 (12/29 13:09)

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tandem

12/29 19:02, , 2^F

12/29 19:02, 2^F

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hcsoso

12/29 23:17, , 3^F