Re: [理工] 台大線代兩題
※ 引述《gj942l41l4 (魯魯)》之銘言：
: ※ 引述《otomoyox (想)》之銘言：
: : 2. |a1 x x ... x|
: : |x a2 x ... x|
: : |x x a3 ... x| = ?
: : | ... |
: : |x x x ...an|
: : 要求行列式，但完全沒有頭緒...
: : 麻煩眾大大出手相救了> <" 感激不盡!!
: 2.
: 1 1 1
: Ans: x(a1-x)...(an-x)( --- + ------ + ... + ------ )
: x a1-x an-x
: n n
: or Σ Π (aj-x) ( define a0:=2x )
: i=0 j=0
: j≠i
: 至於怎麼證，數學歸納法很容意證到，答案反而比較難猜
: 滿有名的，但我覺得考這題很不人性= =
---
令 D := diag(a1,a2,...an)
I_n := n by n identity matrix
v := [1, 1, ... 1]^T in |R^n
T
則原式 = det(D - xI_n + xvv )
T -1
= (1 + xv (D-xI_n) v)*det(D-xI_n) by matrix determinant lemma
n x n
= (1 + Σ ──── ) * Π(ai - x)
i=1 ai - x i=1
only if ai≠x for all i in {1,2,...,n}
----
注意到我黃色標記的限制
所以答案不能是這個，因為不夠 general
需要寫其展開式
也就是上一篇寫的答案:
n n
Σ Π (aj-x) ( define a0:=2x )
i=0 j=0
j≠i
要得到這個答案
目前想到較直觀的做法是列遞迴式:
n-1
f(n) = (an - x)f(n-1) + x * Π(ai-x)
i=1
f(1) = a1
解出 f(n) 的顯式即可
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 210.61.82.125
推
03/01 13:19, , 1F
03/01 13:19, 1F
→
03/01 20:13, , 2F
03/01 20:13, 2F
推
03/01 23:23, , 3F
03/01 23:23, 3F
推
03/09 21:46, , 4F
03/09 21:46, 4F
討論串 (同標題文章)