[理工] 線代
題目:http://ppt.cc/4LBb
雖然有詳解 看過後回來看卻但一直搞不懂這題= =有請協助
[1 2 3 4]
只知道當列運算時候變成[0 1 2 3]=> rank(H)=2
[0 0 0 0]
[0 0 0 0]
所以=>nullity(H-0I)=n-rank(H)=2
因此0為H的eigenvalue且幾何重數gm=0,代數幾何重數am>=2
最後H還有兩個eigenvalue分別假設 a 和 b
多項式就變成charH(x)=(0-x)(0-x)(a-x)(b-x)=x^4-(a+b)x^3+(ab)x^2
又tr(H)=入1+入2+入3+入4=0+0+a+b=1+6+11+15=34
因此由上面可以知道α=34 γ=0(因為 沒有x項) 但β就很難算了= =只知道β=ab
|1 2| |1 3| |1 4| |6 7| |6 8| |11 12|
重點來了詳解說ab=(|5 6| + |9 11| + |13 6| + |10 11| + |14 16| + |15 16|)=-80
WTF= =上面那方法從什麼定理來的 抱歉因為我自讀的所以沒有什麼印象Q_Q
因此可以推導charH(x)=x^4-34x^3-80x^2
所以當題目要求H^3=αH^2+βH+γI4 ===>根據上式x^4=34x^3+80x^2
得α=34 β=80 γ=0
還有另一種方法 但也不太懂...
先假設x=[1 1 1 1]^T y=[1 2 3 4]^T z=[0 4 8 12]^T
因此H=xy^T+zx^T = AB
其中A=[x z] B=[y^T x^T]^T
因為AB與BA具相同0 eigenvalues
先計算BA的特徵多項式
10 80
4 24
所以可得det(BA-xI)=x^2-34x-80
又BA具兩個非零的eigenvalue 為a和b
接下來上面推的AB還具有eigenvalue 0且am(0)=gm(0)=2
因此A的minimal polynomial為 x(x-a)(x-b)
=> 0=H(H-aI)(H-bI)=H^3-34H^2-80H
=> H^3=34H^2+80H
這種解法算是很清潔= =但我懷疑真正考的時候 會想到先假設x,y,z來拆H來解Orz
不然這樣只是背解法就沒意義了QQ
我比較想知道ab到底要甚麼算的...這題重點是把eigenvalue找出來就解決了
4*4有4個特徵值a,b,c,d 因此可以 用暴力法det(A-入I)=0求eigenvalue
但很浪費時間...
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.115.213.99
推
12/25 16:06, , 1F
12/25 16:06, 1F
→
12/25 17:53, , 2F
12/25 17:53, 2F
→
12/25 17:55, , 3F
12/25 17:55, 3F
→
12/25 17:55, , 4F
12/25 17:55, 4F
推
12/25 18:18, , 5F
12/25 18:18, 5F
推
12/25 18:48, , 6F
12/25 18:48, 6F
→
12/25 18:48, , 7F
12/25 18:48, 7F
推
12/25 19:30, , 8F
12/25 19:30, 8F
→
12/25 19:31, , 9F
12/25 19:31, 9F
→
12/25 21:17, , 10F
12/25 21:17, 10F
→
12/25 21:17, , 11F
12/25 21:17, 11F
→
12/25 21:18, , 12F
12/25 21:18, 12F
→
12/25 21:20, , 13F
12/25 21:20, 13F
推
12/25 22:08, , 14F
12/25 22:08, 14F
討論串 (同標題文章)