Re: [理工] 工數Fourier
※ 引述《mp8113f (丹楓)》之銘言：
: 關於以下兩題
: n
: ∞ (-1)
: Find the sum of the series Σ ────
: n=1 4n^2 -1
: ∞ sinωa 2
: Solve the integral ∫ [────] dω
: -∞ ωa
: 這解答我有 只是我是覺得蠻扯的就是了 要去猜原來的f(t)為何
: 有沒有版友有其他不同的觀念可以比較容易解這種題目呢 ..
: 感謝^^"
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以下用複變函數解:
<1>
∞ (-1)^n
考慮 L = Σ ──── , 其中 f(n) = 4n^2 - 1
n=-∞ f(n)
1
= -πΣ Res{ ───────, z=p} , where p: roots of f(z)=0
p f(z)*sin(πz)
1 1
= -π*{ ──────│ + ──────│ }
8z*sin(πz) z=1/2 8z*sin(πz) z=-1/2
= -(π/2)
[L - (-1)]
所以欲求 = ───── = (1/2) - (π/4)
2
ps:
那個公式只適用於 f(n) 為 polynomial with order > 1
證明複變函數課本有
<2>
∞ sin(ωa) 2 1 - e^(i2ωa)
∫ [────] dω = Re{ πi*Res{───────}, z=0 }
-∞ ωa 2(ωa)^2
-i
= Re{ πi* ── }
a
= (π/a)
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.113.211.139
推
02/08 01:40, , 1F
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02/08 01:41, , 2F
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02/08 01:42, , 3F
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02/08 10:13, , 4F
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02/08 10:13, , 5F
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要把各個路徑都算出來，因為留數是拿來算 環積分, 並非是瑕積分
只是有些被積函數的 form 常使用 (例如 fourier transform)
所以有些定理可以保證某些被積函數的外圈積分會趨近於 0
例如第 <2> 題就使用到 Jordan's lemma
當然若沒其它 thm. 保證，每條路徑都要乖乖去算它
不能當作一定是趨近於 0
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02/08 11:14, , 6F
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02/08 12:48, , 7F
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02/08 14:16, , 8F
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※ 編輯: doom8199 來自: 140.113.211.139 (02/08 15:21)
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02/08 15:43, , 9F
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