Re: [理工] [工數]-留數積分
※ 引述《cccoco (危機感)》之銘言：
: 1.
: 2
: ∞ sin x
: 請問∫ ------- dx
: -∞ x^2
: 書上說x=0是一階pole..
: 但x^2 不是二階嗎@@?
先拆
sin^2x 1-cos(2x)
f(x) = _____ = __________
x^2 2x^2
1-exp^(i2z)
考慮 f(z) = __________
2z^2
∞
∮f(z)dz = ∫ f(x)dx +lim∫f(z)dz + lim∫f(z)dz = 0
-∞ 上方圓弧 繞z=0
第二項 = 0 , 第三項 = -πi*Resf(z,0) = -πi * (-i) = -π
∞
=> ∫ f(x)dx = π
-∞
: 2.
: ∞ (lnx)^2
: 請問∫ ---------- dx
: 0 a^2 + x^2
(lnz)^2
f(z) = __________
a^2+z^2
∞ 0
∮f(z)dz =∫f(x)dx+lim∫f(z)dz + lim ∫ f(rexp^iπ)*exp^(iπ)dr +lim∫f(z)dz
c 0 繞上半原弧 R→∞ R 繞branch cut
(lna + π/2*i)^2
= 2πi*Resf(z) = 2πi*[_______________] = π/a*[(lna)^2-π^2/4 +iπlna]
2ai
= I
∞ ∞ (lnx+ iπ)^2
=> ∫ f(x)dx + ∫ ___________ dx = I
0 0 a^2+x^2
∞ ∞ -π^2 ∞ lnx
2∫ f(x)dx + ∫ _________dx + 2πi*∫ _________dx = I
0 0 a^2 + x^2 0 a^2+x^2
第二項 = -π^2/a * arctan(x/a)︳ = -π^2/a * (π/4)
比較實虛部:
∞ lnx πlna
∫ _________dx = ________
0 a^2+x^2 2a
∞ π(lna)^2
∫ f(x)dx = __________
0 2a
: 該怎麼做呢?
: 謝謝
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03/04 15:46, , 1F
03/04 15:46, 1F
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