Re: [理工] [工數]-齊次ODE
※ 引述《mdpming (阿阿 要加油)》之銘言：
: 2 2 2 2
: (x + 2xy - y )dx + (y + 2xy - x )dy = 0
: 答案是
: 2 2
: x + y
: -------
: x+y
: y
: 我另 u = ---
: x
: 算到
: 2 2 2 2 2
: x dx + x (udx - xdu) + x u(2xdu + udx) + x u (xdu + udx) = 0
: 2 2 2 x 2 2 2 2
: x dx + x u d(---) + x d(u x) + x u d(xu) = 0
: u
: 2
: 然後同除 x
: 就卡了...
合併法 (其實跟做齊次也差不了多少)
2 2 2 2
x dx + y dy + 2xydx - x dy + 2xydy -y dx =0
2 2
x dx + y dy + x(2ydx - xdy) + y(2xdy - dx)=0
2 -1 -1 2
2 2 d(x y ) d(x y )
x dx + y dy + x-------- + y--------=0
x*y^-2 y*x^-2
2 2 2 2 -1 2 -1 2
x dx + y dy + y d(x y ) + x d(x y ) =0
2 -1 2 2 2 -1
x d(x + x y ) + y d(y + x y )=0 ←上式前後合併 中間合併
2 2 2 2
2 x +y 2 x +y
x d(-------)+ y d(-------)=0
x y
2 2 2 2 2 2 2 2
2 d(x +y )*x-(x +y )dx 2 d(x +y )*y-(x +y )dy
x *----------------------- +y *-----------------------=0
x^2 y^2
2 2 2 2
(x+y)d(x +y )-(x +y )d(x+y)=0
2 2 2 2
(x+y)d(x +y )=(x +y )d(x+y)
左右積分得
2 2
ln(x +y )=ln(x+y)+c
2 2
x +y
ln(-----)=c
x+y
2 2
x +y c
(-----)=e =c*
x+y
--
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02/01 21:06, , 1F
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02/07 22:51, , 2F
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