Re: [理工] [工數]-ODE
※ 引述《shinshark (鯊魚)》之銘言：
: 大家好～有一題ODE想請教 希望高手幫忙指點
: 2
: (sinycosy + xcos y)dx+xdy=0
: 我一開始判斷是否為exact
: 可是我求出來的積分因子好像有點怪
: 然後我用一階線性的式子去判別
: 好像也不是一階線性的題型
: 能否請大家指點一下該怎麼判別
: 希望好心的高手能順便給予解題過程 感謝
這題是用exact去做沒錯~
2
(sinycosy + xcos y)dx+xdy=0...(1)
2
令M=sinycosy + xcos y
N=x
假設@為偏微分之符號~
@M 2 2
─ = cosy*cosy+siny(-siny)+2xcosy(-siny) = cos y-sin y-2xcosysiny
@y
@N
─ = 1
@x
@M @N
─ ≠ ─
@y @x
2 2 2
@M @N cos y-sin y-2xcosysiny-1 -2sin y-2xcosysiny
[─ - ─]/M = ──────────── = ─────────
@y @x 2 2
sinycosy + xcos y sinycosy + xcos y
2 2
(1=cos y+sin y代入)
-2siny(siny+xcosy)
= ────────── = -2tany = -g(y)
cosy(siny+xcosy)
所以g(y)=2tany
2
∫2tanydy 2ln│secy│ ln(│secy│) 2
I.F.= e = e = e = sec y
2
(1)式兩邊乘以sec y得
2 2 2
sec y(sinycosy + xcos y)dx+xsec ydy=0
2
(tany+x)dx + xsec ydy = 0此式必為exact
令Ma=tany+x
2
Na=xsec y
@ψ
所以存在ψ(x,y)使得 ─ = Ma
@x
1 2
ψ(x,y) =∫Ma dx = ∫tany+x dx =xtany + ─ x + h(y)
2
將上式對y偏微分得
@ψ 2 2
─ = xsec y + h'(y)= Na = xsec y
@y
所以h'(y)=0 ,h(y)=c_1,c_1為常數
1 2
所以ψ(x,y)=xtany + ─ x + c_1
2
1 2
所求為 xtany + ─ x = c
2
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◆ From: 59.114.248.27
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推
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