Re: [理工] [工數]-ODE
x^2y''+xy'+y=sec(lnx)
令x=e^t t=ln(x)
原式=> Y''+Y= sec(t)=f(t)
先算齊性解Y''+Y=0
yh=C1cos(t)+C2sin(t)
利用參數變異法
令特解yp=u*y1+v*y2 (*乘)
y1=cos(t) y2=sin(t)
w= l y1 y2 l = l cos(t) sin(t) l = 1
l y1' y2'l l -sin(t) con(t) l
w是指wronskian就上面這行列式公式
u'= -y2*f(t)/w v'= y1*f(t)/w f(t)為原式的sec(t)
由上面之公式
帶入得知
u'= -sin(t)*sec(t)/1 = -tan(t)
v'= cos(t)*sec(t)/1 = 1
積分後得
u = ln(cos(t))
v = t
(因為只需要一個u和v 故令積分常數為零)
特解 yp=u*y1+v*y2
=cos(t)*ln(cos(t))+sin(t)*t
通解 y = yh + yp
= C1cos(t)+C2sin(t)+cos(t)*ln(cos(t))+sin(t)*t
別忘了自己令的x=e^t t=ln(x) 要記得換回來
=> C1cos(ln(x))+C2sin(ln(x))+cos(ln(x))*ln(cos(ln(x)))+sin(ln(x))*ln(x)
有錯請糾正@@
※ 引述《dtaya (阿光)》之銘言：
: 97年中興機械的第一題
: x^2y''+xy'+y=sec(lnx)
: 請問一下這一題的特解要如何求解？
: 可令x=e^t最後做到
: 1
: yp=------(sect) 然後接著該如何求解？
: D^2+1
: 剛剛翻了一下參考書 上面寫了逆算子這樣的步驟
: 1
: yp=------(sect) =sint∫costsect dt-cost∫sint sectdt(其實不太明白怎麼來的)
: D^2+1
: =tsint+costln(cost)=ln(x)sin(lnx)+cos(lnx)lncos(lnx)
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.118.234.91
推
01/23 12:12, , 1F
01/23 12:12, 1F
討論串 (同標題文章)