Re: [理工] [工數]-Fourier
※ 引述《jmKevin ( )》之銘言：
: ∞
: 題目 : X(jw) = F[x(t)] = ∫ x(t) e^(-iwt) dt
: -∞
: ∞
: find F[∫ x(t) y(t+τ) dτ] in terms of X(jw) , Y(jw)
: -∞
: 答案 : X(-jw)Y(jw)
: 這題應該是用摺合積分的方法來做，可是我想不出要怎麼替換
: 麻煩請高手們指點一下，謝謝
題目應該是這樣吧 QQ
∞
F{ ∫ x(τ) y(t+τ) dτ }
-∞
變數代換 τ→ -τ :
-∞
F{ ∫ x(-τ) y(t-τ) (-dτ) }
∞
∞
= F{∫ x'(τ) y(t-τ) dτ } 其中 x'(τ) = x(-τ)
-∞
= F{ x'(t) ＊ y(t) }
= X'(jw) Y(jw)
∞ -jwt
X'(jw) = ∫ x'(t) e dt
-∞
∞ -jwt
= ∫ x(-t) e dt 變數代換 t → -t :
-∞
-∞ jwt
= ∫ x(t) e (-dt)
∞
∞ -(-jw)t
= ∫ x(t) e dt
-∞
= X(-jw)
∞
故 F{∫ x'(τ) y(t-τ) dτ } = X(-jw) Y(jw)
-∞
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