Re: [理工] [工數]-中央95-光電
我終於知道 δ(x) 的奧義 QQ
剛剛上網查了一下 Math World :
http://mathworld.wolfram.com/DeltaSequence.html
原來只要滿足以下性質
都可以定義成 δ(x):
A delta sequence is a sequence of strongly peaked functions for which
∞
lim ∫ δ_n(x) *f(x) dx = f(0)
n→∞ -∞
Define δ(x) ≡ lim δ_n(x)
n→∞
也就是
∞
工程上所學的 ∫ δ(x)f(x) dx = f(0)
-∞
把它當成定義比較正確
至於 δ(x) = ┌ 0 if x≠0
└ 發散 if x=0
則算是 δ_n(x) 裡的其中一個 case
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例如考慮 δ_n(x) = ┌ n if 0≦x<1/n
└ 0 otherwise
∞
則 lim ∫ δ_n(x)*f(x) dx
n→∞ -∞
1/n
= lim ∫ nf(x) dx
n→∞ 0
= lim n[ F(1/n) - F(0) ] by Fundamental Theorem of Calculus part 2
n→∞
where f(x) = F'(x)
F(n) - F(0)
= lim ___________
n→0+ n
= F'(0)
= f(0)
而且此 case 的 lim δ_n(x) = lim n*[u(x) - u(x - 1/n)]
n→∞ n→∞
u(x) - u(x-n)
= lim _____________
n→0+ n
= u'(x)
所以 δ(x) ≡ lim δ_n(x) = u'(x)
n→∞
是這樣來的
但對不同的 δ_n(x)
其相對應的 δ(x) 不一定會等於 u'(x)
也就是說
我們要把 δ(x) 看成是 "函數的集合"
而非 "函數"
我碰到的每位教授
都是灌輸 δ(x)=0 if x≠0 給我們QQ
其實那只是 " δ(x) 集合裡的某個函數才滿足此性質"
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舉一個例子:
∞ -iwt ∞
∫ e dt = 2∫ cos(wt) dt
-∞ 0
n
= lim 2∫ cos(wt) dt
n→∞ 0
2*sin(wn)
= lim _________
n→∞ w
sin(nw)
= lim 2π*δ_n(w) for δ_n(w) = _______
n→∞ πw
= 2πδ(w)
要證明 δ_n(w) 的性質是否是對的
就套原始定義:
∞
lim ∫ δ_n(x)*f(x) dx
n→∞ -∞
∞ sin(nx)
= lim ∫ _______*f(x) dx
n→∞ -∞ πx
∞ sin(nx)
= lim ∫ _______ [f(x) + f(-x)] dx
n→∞ 0 πx
∞ sin(nx) ∞ -xt
= lim ∫ _______ [f(x) + f(-x)] * [∫ e dt] dx
n→∞ 0 π 0
∞ ∞ 1 -xt
= lim ∫ ∫ ___ [f(x) + f(-x)] * sin(nx) *e dx dt
n→∞ 0 0 π
∞ n*2f(0)
= lim ∫ _____________ + ... dt
n→∞ 0 π(n^2 + t^2)
( 用部分積分法算出來的,不過後面的積分不會算 ==
所以用 ... 表示 QQ , 會証的人幫忙補一下XD )
2f(0) -1 t→∞
= lim _____ * tan (t/n) | + ...
n→∞ π t=0
= f(0) + ... ( 很明顯後面的 ... = 0 XDDD )
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因此
不需要 Fourier Transform 或是 inverse FT 的公式
就可以直接算那種怪積分了
當然先決條件是 δ_n(x) 的型態要背的夠多
不然每次算到最後都還要證明一次 OTZ
我上次問的那個鳥極限
應該也能用這個定義去證明出來~~
而且前面那個證明
需要用到 " f(x) bound 在指數函數order級下 " 才行
這正好符合 LT 或是 FT 轉換時的存在性條件
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◆ From: 140.113.141.151
※ 編輯: doom8199 來自: 140.113.141.151 (11/14 04:30)
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完整討論串 (本文為第 6 之 6 篇):