Re: [理工] [工數]-複變
※ 引述《msu (do my best)》之銘言：
: 感謝先前高手的回答
: 另外也是解答不懂@@
: 題目是
: Evaluate the following integral:
: ∞ x-sinx
: ∫ -------------- dx , a>0
: -∞ x^3(x^2+a^2)
: z^2 + zi+1 -e^(iz)
: ...他的解答第一步就令 F(z)=---------------------
: z^3*(z^3+a^2)
^^^
打錯了，是 z^2
: 在上半平面具有z=ai的一階pole,在實軸上具有z=0的一階pole
: 請問高手 他的F(z)為何要那樣令?
: 感謝^^
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解答的令法蠻神的
因為若照原型態假設
pole z=0 會是 order=3
這樣最後再求 residues 時
Res{f(z) , 0} 要求 z^3*f(z) 的二階微分
但是若照解答那種假設
z=0 會變成 order=1
就可以避免要求 z^3*f(z) 的二階微分
計算量可以大幅降低
------------------------------------------------------------------------------
<1> 正常求法:
考慮定積分: iz - e^(iz)
∮ ____________ dz with pole z=0 for order=3
c z^3(z^2+a^2) z=ai、-ai for order=1
c: |z|=R 上半圓
用 |z|=δ 的上半圓 去包 z=0
當 R→∞ 可得到:
δ→0
∞ ix - e^(ix)
∫ ____________ dx = 2πi*Res{f(z),ai} + πi*Res{f(z),0}
-∞ x^3(x^2+a^2)
-a - e^(-a) πi d^2 iz - e^(iz)
= 2πi* ____________ + ___ * ____ ___________ |
(ai)^3 * 2ai 2 dz^2 z^2+a^2 z→0
a^2 - 2a + 2 - 2e^(-a)
= ______________________*πi
2a^4
∞ -cosx
即 ┌ ∫ ____________ dx = 0
│ -∞ x^3(x^2+a^2)
│
│ ∞ x - sinx a^2 - 2a + 2 - 2e^(-a)
└ ∫ ____________ dx = ______________________ *π
-∞ x^3(x^2+a^2) 2a^4
------------------------------------------------------------------------------
<2> 解答求法:
考慮定積分: z^2 + zi+1 -e^(iz)
∮ __________________ dz with pole z=0 for order=1
c z^3(z^2+a^2) z=ai、-ai for order=1
c: |z|=R 上半圓
用 |z|=δ 的上半圓 去包 z=0
當 R→∞ 可得到:
δ→0
∞ x^2 + xi+1 -e^(ix)
∫ __________________ dx
-∞ x^3(x^2+a^2)
= 2πi*Res{f(z),ai} + πi*Res{f(z),0}
-a^2-a+1-e^(-a) z^2 + zi + 1 -e^(iz)
= 2πi* ______________ + πi* ____________________ | (連用兩次 L'Hos.)
(ai)^3 * 2ai z^4 + a^2z^2 z→0
-a^2-a+1-e^(-a) 2 + e^(iz)
= 2πi* _______________ + πi* ____________ |
2a^4 12z^2 + 2a^2 z→0
a^2 - 2a + 2 - 2e^(-a)
= _______________________ *πi
2a^4
∞ x^2 + 1 - cosx
即 ┌ ∫ ______________ dx = 0
│ -∞ x^3(x^2+a^2)
│
│ ∞ x - sinx a^2 - 2a + 2 - 2e^(-a)
└ ∫ ____________ dx = _______________________ *π
-∞ x^3(x^2+a^2) 2a^4
------------------------------------------------------------------------------
至於為何 pole z=0 會只剩下 order=1
原因是:
z^2 + zi + 1 - e^(iz)
= (z^2 + zi + 1) - (1 + iz - z^2/2 - iz^3/6 + ....)
= z^2/2 - iz^3/6 + ...
= z^2*[ 1/2 - iz/6 + ... ]
所以那樣的假設方式
變成又多一個 zero 點 : z=0 且 order=2
剛好和分母的 3 order pole z=0 消掉兩個
若有這個概念
其實你也可以刻意製造分子有 zero z=0 with order=3
也就是你也可以假設成:
z^3 - z^2/2 + iz + 1 - e^(iz)
f(z) = _____________________________
z^3(z^2 + a^2)
變成 f(z) 的 pole z=0 "被 removed 掉了"
∞
所以 ∫ f(x) dx = 2πi*Res{f(z) , ai}
-∞
-ia^3 + a^2/2 - a + 1 - e^(-a)
= 2πi * _____________________________
2a^4
[ a^2 - 2a + 2 - 2e^(-a) ] - i*(2a^3)
= _____________________________________ *πi
2a^4
∞ x^3 - x^2/2 + 1 - cosx π
即 ┌ ∫ ______________________ dx = ___
│ -∞ x^3(x^2+a^2) a
│
│ ∞ x - sinx a^2 - 2a + 2 - 2e^(-a)
└ ∫ ____________ dx = _______________________ *π
-∞ x^3(x^2+a^2) 2a^4
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