Re: [理工] [微積分]-積分問題
※ 引述《msu (do my best)》之銘言：
: 積分問題
: ∞ 1 1 ∞ X^(- 5/6)
: ∫ ----------- = 2*---∫ ----------- <-----(A)
: -∞ X^6 +64 6 0 X+64
: 1 1 1 5
: = --- * ----------*B(---,---) <-----(B)
: 3 64^(5/6) 6 6
: 1 π
: =----*----------- <-----(C)
: 96 sin(π/6)
: =π/48
: 請問A到B到C 是用什麼公式^^ 感謝
∞ 1
∫ -----------dx
-∞ X^6 +64
那是特殊函數要背的,沒背的就...嘎嘎嘎
我自己也沒背就是了( @_@)y~ ...
所以...
以下用複變算,沒學過就算了XD
C:Cr+L
Cr:上半圓
L:同所求積分之路徑
1 1 1
lim ∮-----------dz=lim ∫-----------dz+∫-----------dz
R->∞ C z^6 +64 R->∞Cr z^6 +64 L z^6 +64
=0+所求積分
=2πi(上半平面的留數和)
=2πi(Resf(z)+Resf(z)+Resf(z))
z->z1 z->z2 z->z3
2πi
=-----(cos(5π/6)-isin(5π/6)-i+cos(25π/6)-isin(25π/6))
6*32
π
=---
48
註:
f(z)=1/(z^6+64),上半平面的極點
z1=2e^i(π/6)
z2=2e^i(π/2)
z3=2e^i(5π/6)
z-z1 1 e^-i(5π/6)
Resf(z)=lim --------- =lim ------ =------------
z->z1 z->z1 z^6+1 z->z1 6z^5 6 * 32
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