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看板Grad-ProbAsk作者 (hihaka)時間16年前 (2009/08/30 20:14), 編輯推噓6(6推 0噓 55→)
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xy''+2y'-xy=2*exp(x) 我看出y1=exp(x) 用降階法 發現積分積不出來 所以換一個方法 Let y=exp(x)*v 帶入 v''+(2+2/x) v' =2 I=exp( 2 + 2/x )dx =exp(2x)*x^2 Iv' = S I * 2 = S exp(2x)*x^2 *2 by part v'= x^2*exp(2x)-x*exp(2x)+exp(2x)/2 +2*c1 / exp(2x)*x^2 積分 v= S [x^2*exp(2x)-x*exp(2x)+exp(2x)/2 +2*c1 / exp(2x)*x^2]dx then x - ln x -1/2x +c1* S[ 1/ exp(2x)*x^2]dx 這個積分不太會積 請各位幫幫忙 謝謝 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 122.147.16.83
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08/30 20:27, , 1F
左邊積分有積錯，不可能會跑出 lnx 這項 OTZ
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08/30 20:28, , 2F
右邊那個積分無法寫出 closed form ，直接用積分式
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08/30 20:28, , 3F
表示答案即可
08/30 20:28, 3F
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08/30 20:30, , 4F
囧，我以為 exp(2x)*x^2 只除右邊的c1，那左式應該沒問題
08/30 20:30, 4F
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08/30 20:31, , 5F
v'那邊的積分嗎
08/30 20:31, 5F
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08/30 20:34, , 6F
∫e^(-2x)/x^2 dx 這個別理它，沒辦法積～～
08/30 20:34, 6F
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08/30 20:35, , 7F
可是這題用y=exp(x)*v帶入可得到答案
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08/30 20:36, , 8F
為c1exp(x)/x +c2exp(x)/x +exp(x)
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08/30 20:37, , 9F
那就要檢查過程了...
08/30 20:37, 9F
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08/30 20:42, , 10F
很明顯 v''+(2+2/x) v'=2 這行就有問題。若 e^x 是解
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08/30 20:42, , 11F
那 v=1 也要是解，但帶入後 0=2 矛盾　＝＝
08/30 20:42, 11F
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08/30 20:44, , 12F
uv''+(2u'+pu)v'=R(x)
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08/30 20:44, , 13F
v''(2exp(x)/exp(x) + 2/x) v' =2exp(x)/exp(x)
08/30 20:44, 13F
推
08/30 20:50, , 14F
我猜你是代 uv''+(Pu+2u')v' + (u''+Pu'+Qu)v=f(x)
08/30 20:50, 14F
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08/30 20:51, , 15F
但 u''+Pu'+Qu = f(x) (以此提來說 f(x) = 2e^x/x)
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08/30 20:52, , 16F
並非 0 XD
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08/30 20:54, , 17F
那請問喔為什麼u''+pu'+qu'=f(x)
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08/30 20:56, , 18F
因為 u=e^x 是你找到的解，解帶入方程式等號成立～～
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08/30 20:58, , 19F
exp(x)帶入成立
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08/30 20:59, , 20F
可是愈老的筆記寫說 帶入成立就跳
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08/30 20:59, , 21F
uv''+(2u'+pu)v'=R(x)
08/30 20:59, 21F
推
08/30 21:01, , 22F
我猜那是指 f(x)=0 的 case，f(x)≠0 ，"絕對"不會長這樣
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08/30 21:02, , 23F
而且你對 uv''+(2u'+pu)v'=R(x) 求解
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08/30 21:03, , 24F
可能解出 v' = C1*a(x) → v = C1∫a(x) + C2
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08/30 21:04, , 25F
通解 y = C1u∫a(x) + C2u ，這解也是 linear → f =0
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08/30 21:05, , 26F
sorry我算錯了 = =v''+(2+2/x)v'=2/x
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08/30 21:07, , 27F
可是改過來還是會遇到 v' I =S x^2 exp(2x) * 2/x
08/30 21:07, 27F
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08/30 21:07, , 28F
還是有積分是出現
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08/30 21:11, , 29F
所以你的意思說不同方法可能解出的答案有的是不帶積分
08/30 21:11, 29F
推
08/30 21:13, , 30F
不是，若答案可積，但你算出不可積的答案，表示一定算錯
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08/30 21:13, , 31F
我知道為何愈老說要直接跳，因為他把解拆 yc + yp
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08/30 21:14, , 32F
uv''+(2u'+pu)v'=R(x) ---> 專解 yc
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08/30 21:15, , 33F
假設解出來是 v = C1*a(x) + C2*b(x) ，那通解就是
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08/30 21:16, , 34F
y = [C1*a(x) + C2*b(x)]*u + u
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08/30 21:17, , 35F
喻老 y=u v
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08/30 21:17, , 36F
你也是愈老的學生喔
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08/30 21:19, , 37F
其實現在問題是在S x^(-2) * exp(2x) dx怎麼積= =
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08/30 21:19, , 38F
不是　＝＝... 是的話我剛就直接點出為何要這樣套了XD
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08/30 21:21, , 39F
這題難道BUG了嗎
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08/30 21:26, , 40F
我剛剛好像有點誤解他跳的意思 ～～
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uv''+(2u'+pu)v'=R(x) ---> 這行要成立，須滿足：
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u''+Pu'+Qu = 0 。所以並非你解錯
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08/30 21:27, , 43F
而是 u=e^x 不是它想要的
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08/30 21:30, , 44F
那拜託你可以想想哪裡錯了~~我太笨了想不到
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08/30 21:41, , 45F
就是你要先找出 xu''+2u'-xu =0 的一組解 u
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08/30 21:41, , 46F
才能套 uv''+(2u'+pu)v'=R(x) 去解～～
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08/30 21:46, , 47F
xu''+2u'-xu =0 (這是哪來的??)
08/30 21:46, 47F
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08/30 21:49, , 48F
董!!可是一般好像不太會檢查ㄟ= =
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08/30 21:54, , 49F
你先別管公式還啥的， nonlinear 解可以寫成 y=yc + yp
08/30 21:54, 49F
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08/30 21:55, , 50F
若你找到 yp ，則只剩下 yc 要解
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08/30 21:55, , 51F
自然就會去解 xy''+2y'-xy = 0
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08/30 21:57, , 52F
當然題目ㄧ般都會給你一組 yc 的解～～
08/30 21:57, 52F
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08/30 22:01, , 53F
所以你的意思說xy''+2y'-xy = 0要解出一個解然後他是U
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08/30 22:02, , 54F
然後Y=UV帶入且方程式
08/30 22:02, 54F
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08/30 22:05, , 55F
對，若您想用 "以解找解" 方式的話XD
08/30 22:05, 55F
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08/30 22:15, , 56F
這題真棒 讓我進一步了解了哈哈不然做太順都沒想奈麼多
08/30 22:15, 56F
推
08/30 22:20, , 57F
這題從一開始就錯了吧= = 1+P+Q =0 y1=/=e^x
08/30 22:20, 57F
推
08/30 22:23, , 58F
這題用1+P+Q =/= 0 所以 y1 =/= e^x
08/30 22:23, 58F
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08/30 22:28, , 59F
可是exp(x)帶進去和ㄟ
08/30 22:28, 59F
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08/30 22:32, , 60F
e^x 是 yp ，不是 yc XD
08/30 22:32, 60F
推
08/30 22:33, , 61F
D'Alembert 降階法是知道一個 其次解 可以降一階= =
08/30 22:33, 61F
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