[理工] [線代]-對角化
Find all eigenvalues and a basis for the corresponding eigenspace for the
／ 3 1 0 ＼ 100
matrix . A =∣ 0 1 0 ∣ Use your answer to compute A B
＼ 4 2 1 ／
T
where B = 〔 2 2 8 〕 .
-----------------------------------------以上為題目
書上解得特徵根為 1 跟 3
／ 0 ＼ ／ -1 ＼
V(1) = ker(A - I) = span( v1 = ∣ 0 ∣ , v2 =∣ 2 ∣ )
＼ 1 ／ ＼ 0 ／
／ 1 ＼
V(3) = ker(A - 3I) = span( v3 = ∣ 0 ∣)
＼ 2 ／
-------到這步都還能理解,以下就想不出所以然-------
因為 B = 2(v1) + (v2) + 3(v3)
100 100
A B = A 〔2(v1) + (v2) + 3(v3)〕
100 100 100
= 2 A (v1) + A (v2) + 3 A (v3)
100 100 100
= 2× 1 (v1) + 1 (v2) +3×3 (v3)
=...
這是書上的解法,部分打出
1.我不了解為何 B 要用, ker 1 跟 3 的 base 去取代 ? 有哪一章節的定理提
到這方法嗎 ? 不太能理解為何要這樣處理
2.另ㄧ個不懂得點是, A = PD(P^-1) , P與D皆可求出,但書上的解法是直接將
A的100次方帶入, 而並不是 (P)乘(D的100次)乘(P的反矩陣) 再乘 B 矩陣..
3. 若想不出書上的解法式不是只能用( A^100 ) = (P)(D^100)(P^-1)處理?
有其他的方法嗎 ? 這題計算還蠻繁複的..
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◆ From: 218.169.223.124
※ 編輯: BumbEgg 來自: 218.169.223.124 (08/29 22:09)
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ss大 我現在有點糊 我打我現在的想法你幫我看看是不是這樣
你的意思是說 把B 弄成 三個 basis組成的形式
然後再用 特徵根 和 (A^n)x = (λ^n)x 公式的形式表出?
x為v1 v2 v3 各別
但若是B = P([2 1 3]^t)
A^100 B = P(D^100)(P^-1)P([2 1 3]^t)= P(D^100)([2 1 3]^t)
但這樣好像又... A^100 B = P(D^100)([2 1 3]^t)
我照這算出來答案跟書上不ㄧ樣耶..
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推
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