Re: [理工] [工數]-一階線性ODE!
※ 引述《ashyan (今年的我沒有極限)》之銘言：
: ※ 引述《luckyboy1500 (ＹＥＳ)》之銘言：
: : 下面這三題線性ODE
: : 小弟算半天了
: : 始終解不出來
: : 不知道有沒有神手能指導一下
: : 1、
: : '
: : y + y = -2x/y，y(0)=2
: : 2、
: : '
: : y + ycotx =5exp(cosx) ，y(π/2) = -4
: : 3、
: : (x-y^2)dx + y(1+x)dy = 0
: : 如果有周易工程數學寫真密笈(上)的神手
: : 這三題分別在P1-60第5題與P1-61第7、10題。
: : 先謝謝幫解答的高手了!
: 1.原式整理可得
: yy' + y^2 = -2x
: 令 u = y^2 u' = 2yy' 代回原式
: ∫2 dx
: u' + 2u = -4x I =e =e^2x
: Iu = ∫-4x e^2x dx = -2xe^2x + e^2x + c
: y^2 = -2x + 1 + ce^-2x
: y(0)=2 4 = 1 + c ==> c = 3
: y^2 = -2x + 1 + 3e^-2x
: ∫cotx dx
: 2. I = e = sinx
: Iy = ∫ sinxe^cox dx = -e^cosx + c
: y = -e^cosx/six + c/sinx
: y(π/2) = -4 -4 = -1 + c ==> c = -3
: y = -e^cosx/sinx - 3/sinx
: 3. (x-y^2)dx + y(1+x)dy = 0 整理可得
: xdx + ydy + y(xdy-ydx) = 0
: -1
: (1/2)d(x^2+y^2) + (x^2 + y^2)d(tan (y/x)) = 0
: -1 -1
: (x^2 + y^2) d(x^2+y^2) + 2d(tan (y/x)) = 0
: -1
: ln(x^2 + y^2) + (tan (y/x)) = c
: 希望沒解錯
關於第三題的第三行
-1
dtan (y/x)那項是不是這樣來的？
(xdy-y^2)dx+y(1+x)dy=0
xdx-y^2dx+ydy+xydy=0
(xdx+ydy)-y(xdy-ydx)=0
1/2 d(x^2+y^2)-y(xdy-ydx)=0
同除x^2+y^2 -1
1/2 1/x^2+y^2 d(x^2+y^2)-y dtan (y/x)=0
我之前是算到這就卡住了＝ ＝
對了這題課本有給答案是y^2 -2x -1=c(x+1)^2為解。
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風吹草枝擺，誰來趕羚羊。
遠處看山小，坐臥山林涼。
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◆ From: 122.124.203.54
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討論串 (同標題文章)
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完整討論串 (本文為第 3 之 4 篇)：