Re: [問卦] 0.99999999999…和1消失

看板Gossiping作者時間6年前 (2017/10/23 02:00), 6年前編輯推噓5(5推 0噓 29→)
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要理解數字怎麼來的 我們先從有理數以前的數字系統的定義開始 先假設自然數是非常直觀的(0,1,2,3......) 並且在自然數上有一個運算規則"+" 從自然數上建構整數非常簡單 先觀察一個式子"1"+1=2 我們可以用一個數對來代表式子中的第一個1 (1,2)意思就是有個東西x,x+1會等於2 這樣說的話 當然你會發現其實也有很多這樣的式子可以拿來代表1這個數字 像(2,3),(3,4)等等諸如此類的 於是我們把所有的這些蒐集起來並且把它當成整數中的1 可以很簡單的驗證用這樣的定義加法也是被保留下來的 代表X的集合和代表Y的集合如果要相加的話把加法定義為 任意取X中的元素x(a,b)和Y中的元素y(c,d) X+Y=Z iff (a+c,b+d)屬於Z(這就不另行證明) 大家可以很容易觀察到 如果我把數對前面的數字放比較大 例如(2,1)就代表有個數字x,x+2=1 但自然數中沒有這樣的數字啊 於是就把它當成新的數字的定義 於是就構造出了整數(可以想成是自然數加負數) 這樣就從原本的數字系統中擴展成新的數系 同理 有理數也是基於差不多的手法 只是操作的數系變成是整數和運算符號"*" 問題來了 那無理數要怎麼從原本的有理數構造出來 觀察我們怎麼表達無理數可以發現 大多數的時候我們是用小數不斷不斷的逼近 於是有個德國數學家很聰明 他想說既然我們是用這種方法來表示無理數(我猜的) 那我們就把無理數定義為所有小於(or大於)他的數 實際做法是這樣的 我們把所有的有理數做分割 在數線某個點上一刀劃下去 那所有有理數會分成兩個部分 舉例來說 我可以劃一刀分成兩個部分 {x屬於有理數|x<1},{x屬於有理數|x=>1} (=>代表小於等於) 我就分割出了兩個以有理數為全集互補的集合 大家會發現 如果我切在一個有理數上 要不就會產生下面那個集合有最大元素 或是上面那個集合有最小元素 在這個情況下 我們就把這兩個"分割" (上面的和這個{x屬於有理數|x<=1},{x屬於有理數|x>1}) 定義為我們原本在有理數理的x(在這個例子裡是1) 那所謂的無理數 就是剛好切在上面和下面都沒有最大最小元素的"分割" 所以直觀地講可以想像無理數就是所有大於(或是小於)他的無理數的集合 只要考慮一個集合的原因是一個集合被決定 分割出來的另一個集合也已經被決定了 這樣我們就又從有理數拓展出了無理數 這個方法由戴德金提出叫做戴德金分割 回到標題 如果要用戴德金分割說明為什麼1=0.9999... 我們要說明的是 X={x|x<1} Y={x|x<0.9999...} (x皆為有理數) 這兩個"分割"是一模一樣的集合(只考慮下面 因為補集會被決定) x屬於Y則屬於X這個很直觀也很明顯 我們假設存在x為有理數屬於X不屬於Y則代表存在p,q為整數使得 1>p/q且p/q=>0.9999... 1-p/q>0 1-p/q為有理數所以一定可以找到一個1/((10)^n)使得 1-p/q>1/((10)^n)>0 1-1/((10)^n)=0.9999(n個9)>p/q 0.9999(n個9)一定小於0.9999...所以和假設矛盾 不存在在X裡卻不在Y裡的有理數 所以這兩個集合是一樣的 根據定義 1=0.9999... -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 36.237.128.128 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Gossiping/M.1508695233.A.B3D.html
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End
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太長 滾
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推
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這篇真好，剛好失眠的說
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推
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恩恩 我也是這樣想的
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我記得在離散數學裡好像是不同東西耶@@
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我忽略了很多證明ㄟ QQ 賞ㄍ面ㄗ迷有很難懂 ※ 編輯: ADHD (36.237.128.128), 10/23/2017 02:04:04
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半年前戰過了
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大概今年年初1/12左右戰過了 我也發了一大篇解釋了@@
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嗯吶
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推
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你怎ㄇ知道0.999...是有理數？
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數學之夜
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我哪邊預設了他是有理數ㄇ?
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嗯...或許我不該寫x<0.999... 但我想表達的是那個分割的意思
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也就是說代表0.999..的這個分割
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推
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樓上...有理數的定義就是分數,有限小數,循環小數
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我是指gj
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用分割建構實數軸 x的限制不是一定要用有理數嗎
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這裡我不熟 不過不能用{x:x<sqrt(2)}來定義sqrt(2)吧
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對 我有說集合裡的都是有理數
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嗯 這樣寫的確有些疑慮 但是代表2^2的分割是存在的
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說實話..看了gj上一次發的文..真的分不出在數學方面
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是不是來鬧的...
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對我來說 認真問這個問題的人 不能把循環小數是有理
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數當作常識啦
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我想寫的是根號寫成指數..
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剛剛查了一下 sqrt(2)的分割一般寫成{x:x<0或x^2<2}
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這是用有理數定義實數的精神(?) 不過我對這邊很無感
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當初沒學好...
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{x|x^2<2}這樣應該是沒錯的 然後x是有理數
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所以要用有理數集合定義實數的方式去證這個，要先說明
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0.99...是有理數吧 還是得把它=q/p 的p,q值算出來
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那不然這樣想好了 0.999..的意思是 不斷在小數上逼近
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所以一且小於1的有理小數都會被丟進來
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每當你逼近一步的時候你就會理解到他是在這個集合理的
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這樣講一講有點變成柯西序列的一個解釋了
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