Re: [問卦] 強迫人接受0.999...=1算不算是一種歧視??消失

看板Gossiping作者時間7年前 (2017/01/12 06:26), 7年前編輯推噓248(278推 30噓 117→)
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%補充一點前言 %此篇文章用了很多非精確的證明及方法 %於數學上必然有瑕疵 %不用很精確的證明及數學符號的目的在於不要讓大家留下數學都看不懂的印象 %也盡可能沒有把話說死 %若要很詳細的解說 可以去專版 or開書單 %這邊所用的方法大致上應該是高中生能看得懂的 %至於由於不想讓大家把焦點放在文組理組 我選擇使用"社會科學""自然科學"的二分法 %造成大家看了不甚滿意 我感到很抱歉QQ _ %如果想詳述0.9=1 的更深的理由 可以從有理區間套去構造實數的完備性 %前面的文章有 概念不難 但看了豆頁絕對會痛 %如果想要確切了解1+2+3+....=-1/12 可以去google zeta函數 %看完就懂了 但前提是要看得完且看得懂QQ %另外我打這篇文章也只是想賺一點p幣 %所以在寫的時候沒有去查一些資料 可能造成了一些錯誤QQ %然後 真的沒有要戰文組理組QQQQQQQQQQQ (文超長.....) 兩個即便有了答案 但仍然常見の數學問題 _ (1)0.9=1 ? (2)∞有多大 ? 一個至今還在爭論の數學(?)問題 (3)1+2+3+4+.......= -1/12 ? 這其實是一個自然科學跟社會科學&文學很大的區別 文科的發展是從文化而來 隨著社會的發展而有所改變 在一個階段之後 可能就不會有一個"標準答案" 誰也不敢保證當初李白寫詩心理的想法跟如今的闡述完全相同 甚至當今很多拿來考試的文章 重新詢問該作者 也是得到不同的答案 但 這也不代表社會科學及文學沒有其存在的意義(沒要開戰的意思Q_Q) 反之 自然科學則是在討論任何事 大多都會佐以詳細的背景及證明 就如同這兩個問題一樣 _ (1) 0.9 = 1 ? 若要詳細敘述他 首先要確認他在哪個環境(群or體)下 再去考慮該環境下的定義 於是乎 可以產生很多很多證明 如同之前許多篇文章也有提到方法 (ㄧ) _ x = 0.9 .........① _ (此處有循環符號!!) 10x = 9.9 .........② _ _ ②-①==> 10x-x=9.9 - 0.9 = 9x =9 _ ==> x=1=0.9 (二) 令a_n= 9 * 10^(-n) 於是 a_1= 0.9 a_2= 0.09 a_3= 0.009 ....... 所以 根據等比級數 ∞ 9*(1-1/10^n) 9/10-9/10^n Σ a_n = _________________= _______________= 1 (∵9/10^n=0) n=1 1-1/10 9/10 if n------>∞ (另外要證明有上界) (三) _ 因為1/3 = 0.3 _ _ 所以1/3 * 3 = 1 = 0.3 * 3 = 0.9 這三種 當然在數學系的眼裡 (一) (三) 都相當不嚴謹 但是對於一般學生 是個比較好理解且直觀的方法 至於我自己如果要解釋給別人 會這麼說 (四) 在一條數線上 兩數相等意味著兩個點是同一點(應該沒有爭議拉) _ 那 在一條實數線上有A,B兩點 分別是A(1) B(0.9) 所以這兩個點是同一個點嗎? --->是 則兩數相等 --->不是 則找出A,B兩點的距離 ------>距離為零 則兩數相等 ------>距離不為零 那可以去發表數學論文了 (如果推導全部沒錯 那就真的可以了) _ 所以結論為 0.9 = 1 那如果要打破砂鍋問到底 就寫個Q&A吧 Q1: 關於方法(一) 10x 跟 x 的小數點後面不是應該差一個0.000.....0009嗎? A1: 因為循環小數這個符號 就意味著無窮無盡 所以不會有盡頭 Q2: 他們之間不是會相差 0.0000......00001嗎? A2: 0.0000......000001 這不是一個數字(如果他是一個數字 則他等於0) 一個數字 是只存在唯一一個值的 Q3: 那原因是什麼? A3: 因為我們如今生活中常見的是"10進位" 在之前的文章中 也有人提到 在程式中 0.1+0.2 ≠ 0.3 (可以很簡單用MATLAB試試) 這個原因則是因為電腦都是採用"2進位" 所以當你輸入"0.1"這個數字時 程式內是將這個數看作0.00011001100110011...00110 (有盡頭) 而"0.2"這個數字 則是0.0011001100110011...01100(有盡頭) 那"0.3"這個數字 則是0.0100110011001100...10011(有盡頭) 所以 "0.1 + 0.2" = 0.010011001100......10010 但 "0.3" = 0.010011001100......10011 就會發現在最後尾數有所差異 _ 而這個問題與 0.9 = 1 的決定性差異就在與"有盡頭" 但也不要怪電腦笨 為什麼要有盡頭 因為如果沒有盡頭 當你用程式打0.1+0.2 時 電腦會跑到死(記憶體有限) 這也是為什麼人類不可能被電腦完全取代的原因 因為電腦無法在實務上真正處理"無限"的問題 而人類可以 所以與二進位的討論差不多 "十進位" 在這個問題下 就會產生這樣的現象 (2) ∞ 有多大? 這個問題比起上一題就簡單得多了 因為∞這從來都不是一個數字！！ 如上題Q&A 的 A2 說的 一個"數字"必然只有唯一一個值 但∞代表的是"要多大有多大" 也就是說比你想到的任何一個數字都還要大 既然是一個如此不定的量 所以他就不符合"存在唯一一個值" 所以∞不是一個數 他只是一個符號!! 但∞也是有量級之分的 如同整數有∞多個 有理數有∞個 無理數有∞個 實數有∞個 但 所有整數個數 = 所有有理數個數 < 所有無理數個數 = 所有實數個數 但這就不多談了XD (3) 1+2+3+4+..........= -1/12 這個等式也是至今仍然爭論不停的問題 那先來看一個比較淺顯易懂的證明 這很重要 ↗ 令A = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 ..........(沒有盡頭) 那我們可以將A改寫成 A = 1 - ( 1 - 1 + 1 - 1 + 1 ....................) ↘ 然而可以發現 括號中的東西剛好等於一開始的A 所以可以寫成 A = 1 - A 再根據簡單的國中數學 知道 2A = 1 , A = 1/2 那再來看另一個值 令B = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 ...........(沒有盡頭) 把它寫歪一點 然後相加 B = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 +............(沒有盡頭) B = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 -............(沒有盡頭) (+ _____________________________________________________________ 2B = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 +............(沒有盡頭) = A = 1/2 ==> B = 1/4 然後看最後一個值 S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 +............(沒有盡頭) 把它跟B寫在一起 然後相減 S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 +.......(沒有盡頭) B = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 +.......(沒有盡頭) (- _______________________________________________________ S-B= 4 + 8 +12 +16 +.......(沒有盡頭) = 4(1 + 2 + 3 + 4 +......) = 4S 同樣的 根據簡單的國中數學 ==>S-B = 4S ==>3S = -B = -1/4 ==> S = -1/12 這就是1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 +.........= -1/12 的由來 但為何至今仍然頗受爭議呢? 簡單而論就是第一條式子 A = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - ..............(沒有盡頭) = 1/2 這件事 只要有學過數列的定義 一定會碰到所謂的 "發散數列" & "收斂數列" 然後非常顯而易見的是 A 是一個在0 ~ 1 之間震盪的"發散級數" 所以不可能會有值 然而一開始即將他視為 1/2 是個極其荒謬的數學錯誤 既然一開始就是錯的 那接下來的步驟當然都沒有意義了R ← 部分數學家這麼想 BUT!!!!!!!!!! 這個結論居然跟弦論裡很重要的黎曼函數的特例一樣 並且其結果存在於自然界中 所以結果當然是沒錯啊 難不成是自然界的BUG? ← 部分物理學家這麼想 所以還是很多人在爭論拉 一樣來個Q&A m m(m+1) ∞ ∞(∞+1) Q1: Σn = ------- 不是嗎? 那Σn 當然等於--------- 才對啊 怎麼可能是-1/12 n=1 2 n=1 2 A1: 首先 上面這個公式是只適用於"有限"的數 但∞根本不是一個數 所以不成立 再者 照直觀來看 任何結果都不會是結果 因為他的值比你想到的任何數都大 Q2: 1 - 1 + 1 - 1 + 1 -........=1/2 什麼的 要怎麼用物理解釋? A2: 比較好理解的想法 是"機率"的概念(但如果考試寫機率 絕對錯) 舉例是這樣的 現在有一個燈 在一開始是亮的 但過了0.5秒後 就關了 再過了0.25秒後 又開了 再過了0.125秒後 又關了(傲嬌屁) 按照這個規律 每過一半的時間就改變它的狀態 那麼....開始計算後完整一秒 燈會是亮的還是暗的? 或許我們看不出來 所以就說他是亮1/2 這樣 另外也分享一個小故事 曾經有個虐貓的人 在一個密閉小箱子裡放了一隻貓&一個毒氣桶(or能殺死貓的任何東西) 然而不知道是從哪裡知道的 反正他說 "這隻貓在某段時間內啟動了毒氣桶而死的機率是1/2" 於是在真的過了某段時間後 虐貓人說了一句 經典的話 "只要我打開箱子 就能確認貓死了沒 但是在我打開箱子觀測前 這隻貓屬於半死半活的疊加態!!" 所以 我們也可以大聲的說 "在確認最後一個是+1 還是-1前 這個值就是半1半0的疊加態!!" ( 又是1 又是0 又疊加 >////<) 結論: 這三個問題 在未來仍然會不斷被拿出來講(無奈) 也回到前言 自然科學會有嚴謹的證明 再來確認他的正確性 (剛剛證明的1+2+3+....其實不嚴謹) 社會科學則是以觀察&統計分析 來討論 兩者都有其優點 當然也有其缺陷 所以如果回到最原始的主題 _ 強迫不認同0.9 = 1的人去接受 算不算歧視? 不算 在嚴謹並精確的證明後 這是個可以被完美證明的事實 如果不接受 可以考慮修個微積分 或者 告訴大家 到底兩數差了多少吧 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.112.243.228 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Gossiping/M.1484173586.A.F26.html
推
01/12 06:28, , 1F
推
01/12 06:28, 1F
推
01/12 06:28, , 2F
嗯嗯跟我想的差不多，看來我有112的資質
01/12 06:28, 2F
推
01/12 06:32, , 3F
我想問所以1.99...也等於2嗎? 2.99...也等於3嗎?
01/12 06:32, 3F
_ _ 對啊沒錯 1.9 = 1 + 0.9 = 1 + 1 = 2
推
01/12 06:32, , 4F
雖然很認真的回 但我覺得MATLAB的部份不應該拿來寫
01/12 06:32, 4F
就...解釋一點原理吧@@
→
01/12 06:33, , 5F
看到數學系就直接End了
01/12 06:33, 5F
→
01/12 06:33, , 6F
還是只能0.99...等於1其餘不能類推
01/12 06:33, 6F
※ 編輯: zax8419 (140.112.243.228), 01/12/2017 06:34:37
→
01/12 06:33, , 7F
實際上你在MATLAB輸入0.2+0.3就會=0.5 或許您解釋的不
01/12 06:33, 7F
→
01/12 06:34, , 8F
善完美 我知道你要說得東西 不過 那段文字不大清楚
01/12 06:34, 8F
→
01/12 06:34, , 9F
十進位造成大部分鄉民無法瞭解的意含是重點 但MATLAB
01/12 06:34, 9F
→
01/12 06:35, , 10F
的計算 其實遠比問題本身的概念還差很遠 XDDDDDDD
01/12 06:35, 10F
那邊主要是想說有限跟無限的概念拉 然後在之前的文章裡也有推文說這件事 就順便講了
→
01/12 06:36, , 11F
然後 社會科學跟自然科學這部份論點 鄉民值得深思
01/12 06:36, 11F
※ 編輯: zax8419 (140.112.243.228), 01/12/2017 06:37:51
→
01/12 06:37, , 12F
這東西很TRICK的呢～樓下您說呢
01/12 06:37, 12F
推
01/12 06:37, , 13F
一早讓我看這個，是不想讓我好好吃早餐嗎？
01/12 06:37, 13F
推
01/12 06:38, , 14F
任何有限小數都可以寫成兩種形式
01/12 06:38, 14F
→
01/12 06:38, , 15F
例如5.32=5.31999999...
01/12 06:38, 15F
偷偷說 這不是兩種形式噢 是同一種
→
01/12 06:39, , 16F
然後推這篇優文
01/12 06:39, 16F
→
01/12 06:39, , 17F
形式是數論定的 形式不會影響真理
01/12 06:39, 17F
※ 編輯: zax8419 (140.112.243.228), 01/12/2017 06:40:19
→
01/12 06:39, , 18F
但並非任何形式都可寫成 囧我好像在傳教
01/12 06:39, 18F
→
01/12 06:40, , 19F
那個1+2+3+4+...其實一開始就是假定發散數列也可以對應
01/12 06:40, 19F
→
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一個值
01/12 06:41, 20F
→
01/12 06:42, , 21F
發散級數才對…
01/12 06:42, 21F
推
01/12 06:42, , 22F
發散的東西 99%都沒有值得討論得點 剩下來的1%更是
01/12 06:42, 22F
→
01/12 06:43, , 23F
垃圾 重點在於要發不發那種東西才討人厭
01/12 06:43, 23F
→
01/12 06:43, , 24F
好比百家樂 我大你一百萬 你大我兩百萬 大來大去好可怕
01/12 06:43, 24F
→
01/12 06:45, , 25F
然後就是 ... 三個點點點 我有發文 恩 這同一個東
01/12 06:45, 25F
→
01/12 06:46, , 26F
西 即使你5.32=5.31999...
01/12 06:46, 26F
→
01/12 06:47, , 27F
在討論那的級微小的事物之前 數學界是沒有極限
01/12 06:47, 27F
→
01/12 06:47, , 28F
而物理界是有極限的 就是粒子 這也是兩界爭議話題
01/12 06:47, 28F
→
01/12 06:48, , 29F
然而文組大部分偏向：1就是1 2就是2 所以開戰
01/12 06:48, 29F
推
01/12 06:50, , 30F
你再要求我接受 我就要去告你強制罪喔 氣噗噗
01/12 06:50, 30F
→
01/12 06:51, , 31F
樓上 那你不要接受1+1=2
01/12 06:51, 31F
→
01/12 06:51, , 32F
這東西有趣的很 數學界就是那樣 物理界拿來用
01/12 06:51, 32F
還有 360 則推文
還有 46 段內文
這兩個值相等啊
噓
01/12 18:52, , 393F
數學是自然科學？
01/12 18:52, 393F
推
01/12 19:07, , 394F
推
01/12 19:07, 394F
噓
01/12 19:33, , 395F
你的bar bar錯地方了吧 為什麼是在0不是9嗎@@
01/12 19:33, 395F
噓
01/12 19:35, , 396F
我說（1）0.9循環=1那邊
01/12 19:35, 396F
應該是因為你用手機看吧 我自己用手機看也會跑掉
推
01/12 19:53, , 397F
推推
01/12 19:53, 397F
推
01/12 19:56, , 398F
推 可惜文組不懂
01/12 19:56, 398F
推
01/12 21:20, , 399F
後面好有趣啊 大推
01/12 21:20, 399F
噓
01/13 02:03, , 400F
不是所有數學家都相信有無限
01/13 02:03, 400F
噓
01/13 02:05, , 401F
在電腦科學處理0.1+0.2已有更好的處理方法
01/13 02:05, 401F
→
01/13 02:09, , 402F
要說是自然科學又要套無限的概念?
01/13 02:09, 402F
(1)我完全沒有修改到那部分噢 我一直指的是部分數學家 (2)至少最新版的MATLAB是會有誤差吧......我沒有去瞭解每個工具的背景真的很抱歉QQ (3)大家真的好糾結在自然科學跟數學噢..... 其實我的本意是要講文科跟理科 或自然組社會組 (二分法) 但是這樣很怕會開戰成戰文組理組(在八卦版太敏感) 所以選了一個不精確也不正確的詞彙 跟大家說聲抱歉 ※ 編輯: zax8419 (140.112.243.228), 01/13/2017 02:43:36
推
01/13 12:01, , 403F
數學系推個 雖然高微修的很爛
01/13 12:01, 403F
噓
01/13 12:50, , 404F
所有有理數個數 < 所有無理數個數 哪個地方教的?
01/13 12:50, 404F
可數無窮 <<<<<< 不可數無窮 微積分跟高微都有教 你可能要讀熟點
噓
01/13 12:52, , 405F
另外妳真的認為無限+1大於無限?
01/13 12:52, 405F
∞是一個數嗎? 我想我寫得很清楚了 "如果"∞是最大的數 那∞+1>∞ 因為實數集是ordered (這是說明) 但是那就代表還有比∞更大的數 所以∞不是一個數 (這是結論) 呃 還是你不知道這是反證法
推
01/13 14:44, , 406F
...樓上，你是認真的嗎? 你要不要看一下大一數學導
01/13 14:44, 406F
推
01/13 14:44, , 407F
論提到的可數集，不可數集，和勢XD
01/13 14:44, 407F
推
01/13 15:24, , 408F
文組的直接END我看不懂
01/13 15:24, 408F
噓
01/14 00:12, , 409F
數學系好棒棒喔
01/14 00:12, 409F
※ 編輯: zax8419 (140.112.243.228), 01/14/2017 02:49:40
推
01/14 08:06, , 410F
如果∞只是個符號不是數 那∞+1 不就沒有意義
01/14 08:06, 410F
推
01/14 08:09, , 411F
拿∞+1 去跟∞比大小不也沒有意義? 也不會有結果?
01/14 08:09, 411F
推
01/14 09:14, , 412F
抱歉,忘記可數不可數的差別了,補推
01/14 09:14, 412F
噓
01/14 09:15, , 413F
不過你的回文是反證無限代表最大嗎?沒有後面的數喔!
01/14 09:15, 413F
推
01/14 09:17, , 414F
而且無限的加法我沒記錯的話應該是定義,用反證法推定義?
01/14 09:17, 414F
呃 兩位 不好意思 我是自己腦補大家會懂我的意思 我寫完整一點好了 ∞只是一個符號 而"如果"他是一個最大的數(反證的錯誤假設) 那代表他有序 且是上界 所以可以比較大小 但因為實數並沒有上界 所以存在一個數n=∞+1∈R 則n>∞(實數可以被排序)(矛盾) 所以∞不是最大的數 (結論) 另外我反證法說明的對象是∞ 如果方向不太對那很抱歉 不過我想不到別的簡單大家看得的方法用實例去說明∞不是最大的數這件事 何況 某某<∞ 這個用法也常常出現 (意指finite) 又跟剛剛說得不可比序有所出入 即便這裡不是比大小的意思 數學好難QQ 科普好難QQ ※ 編輯: zax8419 (140.112.243.228), 01/14/2017 10:04:34
推
01/14 13:39, , 415F
∞代表ㄧ個大於所有數的符號，這樣講不就好了
01/14 13:39, 415F
推
01/14 16:31, , 416F
…………謝謝妳
01/14 16:31, 416F
推
01/14 16:48, , 417F
原PO解釋的淺顯易懂 謝謝!!
01/14 16:48, 417F
推
01/15 23:08, , 418F
還不錯啊 有些大學的東西看不懂罷了
01/15 23:08, 418F
噓
04/08 09:33, , 419F
請證明2+2= 5
04/08 09:33, 419F
推
04/08 09:44, , 420F
數學上有可能的，宇宙裡就有可能。宇宙還真的可能是無限的...
04/08 09:44, 420F
推
04/08 09:45, , 421F
感謝您的熱心好文~~~~
04/08 09:45, 421F
→
04/09 10:42, , 422F
.....我說阿，證明還有"非精確"的方式喔? =_=
04/09 10:42, 422F
推
04/09 15:51, , 423F
數學不難，難的是要應付這些看不懂卻硬要找麻煩的
04/09 15:51, 423F
推
04/09 22:38, , 424F
數學不難，難的是應付只愛放砲自己沒能力打文章的酸民
04/09 22:38, 424F
推
04/09 23:42, , 425F
第三點真的挺簡單的
04/09 23:42, 425F
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