Re: [問卦] 強迫人接受0.999...=1算不算是一種歧視??消失
※ 引述《LBJ23 (Lebron James 23)》之銘言：
: ※ 引述《nnnn (嗯~嗯~嗯~嗯~~~)》之銘言：
: : 令 x=0.999999......
: : 10x=9.99999.....
: : 10x-x=9 (上兩式相減)
: : x=1
: 這個證明有個很大的Bug
: _ _
: 9.9 - 0.9 = 9
: 你是怎麼得來的
: 小數點後面都是"無限多"個9
: 但是無限多 - 無限多 = 0 嗎???
: 無限多 - 無限多 = 還是無限多吧
挖這一串才發現前面有一位覺得數學系極限害苦學生的板友。
呃，我的感受恰好相反。
正是因為一堆一知半解的理工人，
不懂歷史脈絡，不懂文化意義，
拿著死背硬記的解題法拿著一堆生硬的定義來教學生，
才真的害苦了學生 —— 至少害苦了當年的我。
無窮小的問題不是個簡單的問題。
應該說，整個涉及極限、無窮程序、無窮大無窮小的問題，
概念都不簡單。
所以古希臘人會卡在那卡了許久。
所以就連微積分的創建者之一，牛頓，
在回答柏克萊主教對流數的質疑時也拿不出很好的理據。
（google關鍵詞：Berkeley infinitesimal，或簡單參看後文 *）
牛頓最後只能硬抝說他這套計算用在天文物理上很有用……
可是很有用歸很有用，他就是邏輯上很詭異啊！
（注意這才是真正西方數學文化的精髓：是對邏輯的完美苛求，
而不是有用就好這種想法。）
也因此才會有後來一堆人絞盡腦汁去幫牛頓擦屁股，
最後在一堆數學宅的引領下才發展出今天所謂的 ε – δ 式定義。
這個定義很複雜，許多初學者往往覺得難以入門。
（也因此有人走起回頭路想抓回牛頓的無窮小去）
可是至少這個定義在概念上清楚地解決了好些難點。
如果不走這個定義，光空口說白話在那唬一堆無窮小無窮大啥的，
我才真覺得會搞死一堆鑽牛角尖既覺得那沒道理又講不出口的學生。
初等教學往往會面臨這些兩難：
某類的學生很會算但不會去質疑，
某類的學生則一旦質疑就卡死在那走不出去了。
理想上是希望學生能理解，可是又怕太難理解，
結果就硬把一堆其實說不通甚至早遭先哲質疑過的詭辯塞給學生，
希望學生去硬算。
甚至教師自己都不瞭解這些定義的脈絡而只認定不該教學生定義！
（如果是我，碰上這種教師真的會連算都算不下去。
至少在接觸代數體系建構、體擴張之前，
資質駑鈍的我曾經重走了古人抗拒接受複數的老路：
愈是自以為直覺的講解反而愈讓我覺得毫無道理可言。）
數學本身也是文化的一環。
而很會算的人未必很能教，
數學或甚至物理直覺很強的人也未必能在邏輯上理清各個問題。
但是，對邏輯完美的執著，確實是數學文化的一環。
（即便在今天許多東西都已被證明為難以達成的情況下）
很多問題是值得討論的，
只是討論也還是在特定典範（paradigm）意義下討論好些吧？
*.關於柏克萊主教批評牛頓無窮小算流數的簡介（例示非原文）
簡單舉例，照牛頓的說法，為何 (x^2)’ = 2x ？
即，如果時間 x 時某物的距離是 x^2，怎算瞬時速度？
考慮 x 增加了很小的增量 o，則
距離差 / 時間差 = 速度
即， (x + o)^ 2 – x^2
—————————— = v
(x + o) – x
因為 (x + o)^ 2 – x^2
——————————
(x + o) – x
x^2 + 2 x o + o^2 – x^2
= ——————————————
o
2 x o + o^2
= ——————————————
o
= 2x + o （上下消去 o）
又因為 o 太小了，小到可忽略，所以速度就是 2x。
這時候柏克萊就質疑他了：
你那個很小的增量到底是不是 0？
如果不是 0，怎麼可以在最後隨意說他可以忽略？
如果是 0，你前面除法怎麼可以把他消去？
2 * 0 = 3 * 0 ，這個算式裡難道 0 可以消去嗎？
所以牛頓的這個無窮小量 o 難道是個幽靈（ghost），
高興出現的時候就出現，想消失的時候就消失？
就因為有這個質疑，
無窮小量的論證雖說計算上很有效
（其實某種意義上在高等數學上說得通，但論述更複雜）
可是道理上卻難以服人。
也因此，後來才有柯西等人發展出極限的ε – δ 式定義。
最後引一段我很喜歡的榮格回憶錄裡的文字。
我一直覺得，初等數學教學其實陷阱重重，
教師如果不是在哲學或高等數學上有很深的造詣，
未必能良好地引領學生 —— 可是偏偏造詣佳的未必會去從事初等教學！
Am meisten empörte mich der Grundsatz: wenn a=b und b=c, dann ist a=c, wo
es doch per definitionem feststand, daß a etwas anderes bezeichnete als b
und daher als etwas anderes nicht mit b gleichzusetzen war, geschweige denn
mit c. Wenn es sich um eine Gleichsetzung handelt, dann heißt sie a = a,
b = b usw., während a = b mir direkt als Lüge oder Betrug vorkam.
（最令我惱怒的是這一定理：如果a＝b而b＝c，那麼a＝c，雖然根據定義a與b的意思完
全是兩回事，既然不同，a因而也就不能與b相等，更不用說與c相等了。每當是一個等
式的問題的時候，那麼就說a＝a，b＝b，等等好了。而a＝b在我看來卻完全是個謊言
或者騙局。）
（什麼是「等於」本身也是個大哉問！）
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Die Psyche erschafft taglich die Wirklichkeit. Ich kann diese
Tatigkeit mit keinem andern Ausdruck als mit Phantasie bezeichnen.
-- C. G. Jung
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確實如您所說。感謝！
不過該句後方有個轉折 doch，
翻譯過來加個語氣吧？
（其實這段譯文我大半是轉抄張老師從英文本轉譯的部分，
抄的時候確實沒想太多就是。）
※ 編輯: khara (1.169.209.86), 04/09/2017 22:33:28
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所以我相信柏拉圖的 ιδεα (ειδοç) 說。
某些東西的完美狀態不在此世，只存在於某個世界裡。
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得再確認一下他的內容。
不過這讓我想到一件事：
在 [0, 1] 區間上
f_n ( x ) = x^n 個個都是性質超級好的函數，
可是這組函數卻並非一致連續。
一旦取了極限，
得到的結果，最後的 f ( x ) 會是個不連續的傢伙！
在所有 x < 1 的地方 f 值都縮到 0 去，
只有 x = 1 處， f 值保持在 1。
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他講得好複雜啊……
（好吧似乎我講得也未必單純）
不過直式除法（長除法）似乎是相當晚才發展出來的？
可是其他某些概念似乎很早就產生了？
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※ 編輯: khara (1.169.209.86), 04/10/2017 04:46:43
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完整討論串 (本文為第 39 之 39 篇)：