Re: [試題] 100資工系轉系考題目(微積分部分)

看板DoubleMajor作者hsnuyi時間13年前 (2011/07/30 00:53)推噓4(4推 0噓 2→)

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: （沒有記得太清楚，希望強者補完&更正） : 1. : f(x,y,z)= xyz/(x^2+y^2+z^2) 求▽f(1,2,2)=? yz(x^2+y^2+z^2) - xyz(2x) -yzx^2 + zy^3 +yz^3 fx = --------------------------- = --------------------- (x^2+y^2+z^2)^2 (x^2+y^2+z^2)^2 由對稱性可知: 28 2 2 fx(1,2,2) = ----, fy(1,2,2) = ----, fz(1,2,2) = ---- 81 81 81 所以說: ▽f(1,2,2) = (28/9, 2/9, 2/9) : 2. : ∞ : 求 Σ n/(2^n) : n=1 1 2 3 1/2 1/4 1 1 1 原式 = --- + ----- + ----- + ... = --------- + --------- + ... = 1 + --- + ----- + ... = --------- 2 2^2 2^3 1 - 1/2 1 - 1/2 2 2^2 1 - 1/2 = 2 : 3. : ∫(1 + e^2x)^(1/2) dx 令 t^2 = 1 + e^(2x), 2tdt = 2e^(2x)dx, tdt = e^(2x)dx t^2 1 1 1 1 所以說原式 = ∫ ---------dt = ∫ (1 + ---------)dt = t + ∫ ---(----- - -----)dt t^2 - 1 t^2 - 1 2 t-1 t+1 ln|t-1| ln|t+1| 1 t-1 = t + --------- - --------- + c = [1 + e^(2x)]^(1/2) + ---ln|-----| 2 2 2 t+1 1 (t-1)^2 t-1 = [1 + e^(2x)]^(1/2) + ---ln|---------| = [1 + e^(2x)]^(1/2) + ln|-----| 2 t^2 - 1 e^x = [1 + e^(2x)]^(1/2) - x + ln|[1 + e^(2x)]^(1/2) - 1| : 4. (100) : f(x)=x^2/(x+1)(x+2)(x+3) , 求f (0)=? 1 4 9 (-1)^n x 3 1 f(x) = ------ - ----- + ------ = Σ [--------x^n] - Σ [(-1)^n*2*(---)^n] + Σ [---*(-1)^n*(---)^n 2x+2 x+2 2x+6 2 2 2 3 100! 100! 100! f^(100)(0) = ------ - ------ + -------- 2 2^99 2*3^99 : 5. : ∫∫∫ (x^2 + y^2 + z^2)^2011 dV , x^2 + y^2 + z^2 ≦ 1 用球座標 2π π 1 1 4π 原式 = ∫ ∫ ∫ ρ^4024*sinθdρdθdφ = ------*2π*2 = ------ 0 0 0 4025 4025 : 6. arctan(x) : lim (-----------)^(1/x^2) : x→0 x 樓下有提供做法囉~ : 7. : f(x)=x^3 + 3x + 1 ，g(x)是f(x)的反函數，求g''(5)=?? [g(x)]^3 + 3g(x) + 1 = x, g(5) = 1 3[g(x)]^2*g'(x) + 3g'(x) = 1, 3g'(5) + 3g'(5) = 1, g'(5) = 1/6 6g(x)*[g'(x)]^2 + 3[g(x)]^2*g''(x) + 3g''(x) = 0, 1/6 + 6g''(5) = 0 g''(5) = -1/36 : 8. : 8 2 : ∫∫ e^(x^4) dx dy : 0 y^(1/3) 2 x^3 2 e^16 - 1 原式 = ∫ ∫ e^(x^4) dydx = ∫ x^3*e^(x^4) dx = ---------- 0 0 0 4 : 9. : lim f(x)= A , lim g(x)= B , 試證lim f(x)g(x)= AB. : x→a x→a x→a : 10. : x(t)=4cos t : y(t)=9sin t ,0≦t≦2π : ∫ xdy - ydx /(x^2 + y^2) : Γ 帶Green定理後可知被積分函數在(0,0)之外是conservative的所以說: 2π [rcosθ]^2 + [rsinθ]^2 原式 - lim ∫ -------------------------dθ = 0 r→0+ 0 r^2 2π 所以說原式 = ∫ dθ = 2π 0 --

推

obelisk0114

07/30 02:21, , 1^F

07/30 02:21, 1^F

推

obelisk0114

07/30 02:42, , 2^F

07/30 02:42, 2^F

我其實是想要嚴謹一點的做法XDDD

推

gj942l41l4

07/30 09:00, , 3^F