Re: [閒聊] 大學數學真有人能憑直覺拿滿分嗎
※ 引述《carlow (卡蘿)》之銘言：
: 舉一個簡單的例子 sec x的積分
: 現在的人可能覺得這個蠻標準的 但這個問題在十七世紀卻是灸手可熱的難題
: 有幾個數學家都猜出了答案但都沒法把證明寫下來
: 連牛頓也知道這問題 不知道他有沒有嘗試證明就是
: 到了1668這問題才由巴洛用部分分式的方法解出來
: 很明顯 這種問題不是光知道代入法就能解出來的
: 但是如果你有上課學到t=tan(x/2)這秘技的話 要積sec x就很簡單了～
倒是不一定要用Weierstrass Substitution，雖然這個方法很強大
以下是不用Weierstrass，也不用一般微積分課本用湊的驗證出來的作法:
∫sec(x) dx = ∫1/cos(x) dx
=∫cos(x)/cos^2(x) dx
=∫cos(x)/(1-sin^2(x)) dx
=∫1/(1-u^2) du (u = sin(x))
=∫[1/(1-u) + 1/(1+u)]/2 du
= (-ln| 1-u | + ln| 1+u | )/2 + C
= 1/2 ln|(1+u)/(1-u)| + C
= 1/2 ln|(1+sin(x))/(1-sin(x))| + C
= 1/2 ln|(1+sin(x))^2/(1-sin^2(x))| + C
= 1/2 ln|(1+sin(x))^2/cos^2(x)| + C
= 1/2 ln(|(1+sin(x))/cos(x)|)^2 + C
= ln(|(1+sin(x))/cos(x)|) + C
= ln|1/cos(x) + sin(x)/cos(x)| + C
= ln|sec(x) + tan(x)| + C
這裡只用了三角函數常見代換法的處理方式 + 部分分式
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