Re: [求助] 數學翻譯問題
※ 引述《chliao2006 (chien)》之銘言：
: Let n be a fixed positive integer,
: and suppose we list in increasing order all numbers a/b ,
: where 1 <= a,b <= n , and the fraction a/b is in lowest terms.
: Show that if a/b and c/d are consecutive fractions in this list,
: then bc - ad = 1.
對 n 作數學歸納法
n=1,2 OK
設 n>2
先將分子分母均小於 n 的最簡分數由小到大排列
設 a/b < c/d 為相鄰分數,則由數學歸納法的假設,有以下事實:
(1) bc-ad=1
(2) 若 a/b < x/y < c/d,則 y≧n
(2)等價於以下(2')
(2') 若 bx-ay≧1 且 dx-cy≦-1,則 y≧n
再排形如 k/n 或 n/k 最簡分數
設 k/n 會插入 a/b 與 c/d 中,即 a/b < k/n < c/d
=> bk-an≧1 且 dk-cn≦-1
=> (2')的不等式有解(x,y)=(k,n)
但 (1) => (2')的不等式區域邊界頂點為格子點 => (k,n) 為邊界頂點
=> bk-an=1 且 dk-cn=-1 (順便證了 k 的唯一性)
n/k 證明亦同
又頭尾的分數必為 1/n,1/{n-1},..,{n-1}/1,n/1
故由數學歸納法得證
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◆ From: 140.115.31.174
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03/12 16:32, , 1F
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