Re: [求助] 市長盃數學考題

看板tutor作者doa2 (邁向名師之路)時間12年前 (2013/10/19 22:57)推噓3(3推 0噓 6→)

留言9則, 5人參與討論串2/2 (看更多)

※ 引述《qopop (武田信玄)》之銘言： : 試求滿足m^2-4n及n^2-4m皆為完全平方數的正整數解(m，n)=? : 想法：假設m^2-4n=t^2------(1) : n^2-4m=p^2------(2) : (1)-(2)==>(m-n)(m+n+4)=t^2-p^2=(t+p)(t-p) 到這邊討論不了 : 然後有想過用奇偶性質來判斷題目也有很大的困難麻煩各位老師幫忙不失一般性假設m≧n>0 則m^2>m^2-4n≧m^2-4m=(m-3)^2+2m-9>(m-3)^2 (當m≧5) 此時m^2>t^2>(m-3)^2 故t=m-1或m-2 若t=m-1, 則m^2-4n=(m-1)^2=m^2-2m+1 => 2m-4n=1，(m,n)無整數解若t=m-2, 則m^2-4n=(m-2)^2=m^2-4m+4 => m=n+1，代入n^2-4m=n^2-4n-4=(n-2)^2-8=p^2 移項得(n-2)^2-p^2=8 (n+p-2)(n-p-2)=8 又n+p-2,n-p-2必同奇或同偶, 且n+p-2>n-p-2 得n+p-2=4 ,-2 n-p-2=2 ,-4 解得n=5, 則m=n+1=6 再討論當0<m≦4的情形時此時16-4n≧m^2-4n≧0 =>4≧n 又n^2-4n≧n^2-4m≧0 =>n≧4或n≦0 可知n=4為唯一可能, 此時m=4 故得(m,n)=(6,5)或(5,6)或(4,4) -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 122.118.7.182

推

qopop

10/19 23:04, , 1^F

10/19 23:04, 1^F

推

FATTY2108

10/20 04:32, , 2^F

10/20 04:32, 2^F

推

KDDKDD

10/20 07:42, , 3^F

10/20 07:42, 3^F