Re: [解題] 高中數學 虛數無法比大小的簡易說明
※ 引述《iclaire (小可)》之銘言：
: 想問一下
: 虛數不能比大小有沒有比較能讓高中生理解的說明
: 我有看過那種用三一律公設產生矛盾的反證法
: 不過似乎對學生來說有點不好懂
: 另外我之前在講到複數平面時主要都會跟學生解釋
: 如果把虛數a+bi化成複數平面上的一個點(a,b)
: 那麼兩個虛數之間代表的就只是兩個點的位置 故無法比大小
: 不過這個說法好像有些人說不太對
: 想順便請教這個的正確性
: 謝謝
要回答學生這個問題時，要先清楚學生的「疑惑」在哪裡？
在學生的認知裡，「比大小」就是比序。
在考題的認知裡，「比大小」就是操作不等式。
若沒離清這個認真的差異性，再多的說明都會造成學生：
「我考試會寫這個答案，但我心中有一套自己的答案。」
要幫助學生能自行解惑首先讓學生去想這清楚個問題
「比大小」是為了什麼而用？
任何定義都由其緣由。若來源不清楚，只成了背誦似的學習。
即使附上證明也是在做機械式的操作。
所以在講三一律之類的說明之前，這些預先的背景概念要先建立。
例如：
甲： 英文 90 數學 75
乙： 英文 80 數學 85
這兩個人的成績可以比較大小嗎？
這要看你要用什麼標準，
有些學校會採記兩科總分、有些學校會數學加權50%或者英文不算。
在不同的標準下，就有不同的「大小」。這邊的「比大小」又稱為「比序」。
但「複數」的「比大小」若要和乘法運算一起使用時 (ex: i*i = -1)
就會和實數以前不等式的關係有衝突。 (ex: a>0 或 a<0 都有 a*a>0)
在考題中的「大小」是指 「不等式的運算」而不是比序。
此時，無論你假設「i>0」、「i=0」、「i<0」都無法滿足以前熟悉的不等式關係。
因此在作複數的擴展時，以前熟悉的規律要拋棄，「不等式」的運算就是要被捨棄之一。
我認為高中數學考卷 出現選項「 2+3i > 1+2i」是個無法啓發學生心智的問法。
因為這些都是定義問題，只考定義的結果、不探討定義的緣由時，就讓數學淪為背誦。
這是很多學數學的教授、明智明理的老師的共同認知，
你也可以看過去二十年內的指考、基測，就不會有這樣的題目出現。
但定義還是需要知道的，因為數學有個角色就是扮演科學的共同語言。
有相同的定義是方便溝通，但「教學」不同於「字典」之處就是
教學並不是只給「定義」，而是要引發學生思考去探索「定義」。
(中間這段牽涉到一些名詞，非數學專業就可以不用細看)
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其實在數系擴張的過程，我們一直在取捨，
因為擴張的目的就是要讓運算更完備，但要有捨才能有得。
從整數擴張到有理數時，雖然使得除法的運算得以操作。
但我們捨掉「離散性」、取而代之的是「稠密性」。
「稠密性」其實是個很不可思議的概念，任何兩個數中間竟然都有一個數。
而且可以無止盡的反覆尋找下去，
這無限切割的抽象概念是和自然界物質由基本粒子組成的離散感覺是相違背的。
(所以，這才顯得「自然數」之所以自然。）
從有理數擴張實數時，使得數線變得比較完備，
數線因此是連續，沒有斷掉，沒有缺漏。
這一擴張讓畢達哥拉斯(Pythagoras) 相信任何兩線段皆是可比的概念破滅，
還因此惱怒淹死他的學生希帕索斯 Hippasus 。
此外這一擴張讓我們捨棄「可數」(countable)，產生「不可數」的概念。
從實數擴張到複數時，最大的收穫是多項式方程一定有解。
不止是實系數多項方程有解，連複系數多項方程的解也不會再跑出去複數的範圍。
但這一擴張就要捨棄了「不等式的運算」，也就是口語的「比大小」
甚至還要玩擴張遊戲的話，可以擴張到「四元數」，
此時竟然連基本的交換律 a*b = b*a 也要被丟棄。
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在回到教學上，雖說講這麼多都是不太會考。
但我發覺有不少比例的學生比起聽演算技巧的拆解步驟，
其實還比較樂意聽到這樣的分析討論。
尤其是心中的「愛智」念頭還沒被無法理解的定義、技巧的考題摧殘時。
當然還是已經有部分學生，作數學已經成了應付家長、應付考試的態度。
此時你向他講「複數不能比大小」他就像機械一樣把這句紀錄在腦中。
也不會有露出一絲「驚訝」與「疑惑」時，這時候也的確不用解釋那麼多。
但一旦他露出那一些些懷疑時，老師的角色就是幫他去探索、
讓他瞭解原來任何事都是有根源的。
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全文後來稍微改寫於 blog
http://tutorchiang.blogspot.tw/2013/09/blog-post_2.html
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