Re: [解題] 高二數學線性規劃
※ 引述《spriteeddy (eddy)》之銘言：
: 1.年級：高二
: 2.科目：數學
: 3.章節：線性規劃
: 4.題目：
: {x+y≦10
: 有一線性規畫題目，限制條件為{x+ay≦14 ，目標函數為f(x,y)=2x+by，
: {x≧0,y≧0,y≦5
: 已知f(x,y)的最大值為24，而且只有發生在(x,y)=(b,c)時，試問b值為_______
: (1)1 (2)2 (3)3 (4)4 (5)5
: 5.想法：
: 因為(b,c)是最大值的唯一解，故必發生在端點上，又x軸和y軸上那兩個點很明顯
: 不符合，所以找x+y=10和x+ay=14的交點(x,y)，又此點應為(b,c)，將b,c用a表示
: 代入f(b,c)=b(2+c)
: 但這樣求出來的a會有根號，很明顯與答案有些差異
: 有哪個地方想錯了嗎? 麻煩大家指點。
: 謝謝^^
假設
{x+y≦10 這塊區域叫做A
{x≧0,y≧0,y≦5
{x+y≦10 這塊區域就是B
{x+ay≦14
{x≧0,y≧0,y≦5
顯然B包含於A
對於(x,y)屬於A x≧0
但(x,y)=(b,c)時有最大值
所以b≧0
如果b=0的話
那目標函數就變成2x
由區域A的圖形知x+ay=14必須是水平線(但a≠∞矛盾)
所以b>0
x+ay=14這條線有兩種情況
(1) x+ay=14和區域A完全沒有交點
如果是這樣的話
那
A=B
但2x+by的斜率是負的 (因b>0)
所以最大值只有可能發生在(5,5)或(10,0)
代入(10,0)發現2x+by=20不等於24(不合)
代入(5,5)發現(b,c)=(5,5) 且 2*5+5b=24 (b的值矛盾不合)
所以一定不是這種情況
(2) x+ay=14和區域A有交點
如果是這樣的話
又有幾種情況
1.
最大值發生在x+ay=14 和 x+y=10 的交點
如果是這樣的話
那b+c=10
所以最大值發生在(b,10-b)
得
2b+b(10-b)=24 解得 b=6 ±√12
b=6 + √12 合 (可算出a且-1 < -2/b < -1/a 且 c<=5)
若是b=6 - √12 則 c=4 + √12 > 5 (不合)
2.
最大值發生在x+ay=14 和 y=5的交點
如果是這樣的話
那(b,c)=(b,5)
得2b+b*5=24 所以 b=24/7
得24/7+5a=14 a=74/35
所以-2/b < -1/a 但這樣的話由圖形知(24/7,5)就不會是最大值
故不合
所以答案為b=6 + √12
PS如果目標函數改成x+by的話也是類似的討論方法
解得b=3(不合) or 8(不合) or 4
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