Re: [解題] 高一 數學 指數
※ 引述《kinway (  )》之銘言:
: 1.年級:高一
: 2.科目:數學
: 3.章節:指數
: 4.題目:(i^2)^-1 =i^-2 (-2)^1/2 = 根號2 i
^^^^^^^^參考負整數指數 ^^^^^^^參考複數指數
前者是對的, 後者是錯的 (但後者是錯的理由用到大學的數學)
: 5.想法:
: 我覺得是定義問題,我有查過課本,底數定義成大於0的數,所以這兩個是錯
: 的嗎?
這個問題有討論範圍的問題, 下面的討論算是直觀上的解釋, 事實上所有結果
皆來自定義, 作解釋只是為了了解當中使用到限制條件的關鍵點.
當 z 是複數且 n 是正整數, 則 z^n 表示 n 個 z 的連乘積.
(1) 零指數
當 z 是複數且 n = 0 => 需要求 z 不是 0, 因為 z^0 = z^(1-1) = z/z = 1.
(2) 負整數指數
當 z 是複數且 n 是正整數, 則 z^(-1) 表示 z^(0-1) = 1/z, 只需要求 z 不是 0.
而一般的 z^(-n) = [z^(-1)]^n, 故也只需要求 z 不是 0.
(2) 有理指數
當 z 是實數且 n 是正整數, 要讓 z^(1/n) 有意義, 需要求 z > 0.
(因為一般而言, z^(1/n) 指的是正實數 z 的唯一正 n 次方根)
因此, 有理指數 z^(m/n) 也必須要求 z > 0 (其中 n 為正整數, m 為整數).
(3) 實指數
當 z 是實數且 r 為實數, 要讓 z^r 有意義, 需要求 z > 0.
但由於 z = 1 時, 值皆為 1. 故一般而言只討論 z > 1 與 0 < z < 1 兩種情況.
這是因為對於任意實數 r, 由有理數的稠密性知存在遞增的有理數列 {r_n} 收斂到 r.
定義 z^r 是數列 {z^{r_n}} 的極限值, 因借助有理指數來定義, 故也要求 z > 0.
(4) 複指數
當 z = r.e^(iθ) (以極式表式, r > 0, θ 為主幅角) 是非零複數且 α 為複數
則借助指數與對數的關係可寫成 z^α = e^ln(z^α) = e^[α(r + iθ)]
但由於 e^z = e^(z') (z, z' in C) 時表示 z= z' + 2nπi (n in Z)
所以完整的寫法是 z^α = e^[α(r + iθ) + 2nπi]. 因此,
(-2)^(1/2) 經計算可得解集合 {i √2, -i √2}.
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◆ From: 114.37.163.98
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※ 編輯: armopen 來自: 114.37.163.98 (08/17 01:58)
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