Re: [解題] 高一數學 數與座標系
※ 引述《TheStranger (guest)》之銘言：
: 1.年級： 高一
: 2.科目： 數學
: 3.章節： 數與座標系
: 4.題目：
: 共有幾個自然數n滿足(n^2+3n+60)^1/2 為自然數？
: ANS：4個
: 5.想法：
: 1. 根據題意 n^2+3n+60 為完全平方數
: 2. n^2+3n+60=n(n+3)+60
: 假設可以提出n
: 原式=n[(n+3)+60/n]
: 則n用所有60的因數代 可找出n=1、5滿足條件
: 假設可提出n+3
: 原式=(n+3)[(n+60/(n+3)]
: n+3用所有60的因數代 可找出n=17 滿足條件
: 這樣也只有找到三個
: 3. 但是 60不必然是n或(n+3)的倍數吧?
: 是否還有其他的方法可求出所有滿足的n
: 或可證明只有某個範圍的n可能滿足此式
: 然後再一個一個去代?
: 拜託大家了 在此先謝過!
設n^2+3n+60=k^2 其中k是自然數
左邊配方得(n+3/2)^2+231/4 =k^2
移項得(n+3/2)^2-k^2=-231/4
分解得(n+k+3/2)(n-k+3/2)=-231/4
同乘4: (2n+2k+3)(2n-2k+3)=-231=-3*7*11
又2n+2k+3>2n-2k+3 且為一正一負，故2n+2k+3>0，2n-2k+3<0
討論 2n+2k+3= 1 3 7 11 21 33 77 231
2n-2k+3=-231 -77 -33 -21 -11 -7 -3 -1
相加得4n+6=-230 , -74 , -26 , -10 , 10 , 26 , 74 , 230
得n之正整數解有1,5,17,56
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 180.217.255.95
推
06/25 22:43, , 1F
06/25 22:43, 1F
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