Re: [教學] 橢圓與雙曲線
※ 引述《Bourbaki (大狐狸)》之銘言：
: 我是直接定義b^2 = c^2 - a^2
: 然後取b>0
: 會這樣定義是因為
: 雙曲線本身的定義中本來就沒有b這個東西
: (給定兩點和一個許可的定值做出來的)
: 之後再用a,b畫出那個矩形
: 取x和y非常大的時候 x/a ~ b/y (因為只差1)
: 說明用這個矩形做出來的對角線為何是漸進線
: 目前教過的學生都可以接受
: 順帶一提
: 我個人是認為圓錐曲線是高中數學最沒有用&最無聊的章節
: 雙曲線又是圓錐曲線中最不重要的= =
sinh與cosh是一般理工科學生常見且偶爾會用到的函數
(等別是微積分、微方(工數)之中工程或物理有關的問題)
不知一般理工科學生是如何學習sinh與cosh函數!?
其實sin與cos之於圓就如同
sinh與cosh之於雙曲線
如果學習或家教的教學過程之中，能將上述二者作一對應與連結，
相信sinh與cosh的學習與教學會更有感覺
同時，也能為圓與雙曲線這二個看似不太相關的圖形，架上一座橋了
以下，隨便而草略地亂聊一點相關的歷史
現今高中圓錐曲線課程，太偏重於解析的面向(即座標代數化處理幾何問題‥)
反而較忽略圓錐曲線的幾何性質與意義
而最早期，針對圓錐曲線的性質，最完整而豐富的成果是阿波羅尼斯的研究
更早在希臘化時期之前的歐洲，圓即被視為最基本而重要的平面圖形之一
這點從柏拉圖規範了合法的作圖工具:沒刻度的直尺與圓規
以及當時數學家對圓的性質的大量研究，特別是歐基里德《The Element》有系統的整理
不難想見，"圓"之於整個幾何學的地位與重要性
同時，當時人們認為太陽以圓形軌道繞地球轉
在當時人們渴望以數學來解釋大自然的時代脈絡之下，
無疑也使得"圓"的相關研究與學習，更具正當性與重要意義
然後，直到克卜勒發現原來地球繞太陽的軌道不是圓而是橢圓
以及某些天體的拋物線軌道
也就是說，由於天文學上的發現，使得拋物線與橢圓之於研究大自然的重要性大為提昇
另外，其相關的光學性質亦是過去自然哲學家們(即現代的物理學家、天文學家等)
研究探討的重點
當然，從現在的眼光與角度來看，因天文學的研究而學習圓錐曲線的動機已不重要
工程上(橋或建築)的需要或許還在
同時，現今課程反而是強調在解析法的面向，座標化之後，進而處理一些問題
而不再以相關性質之探討為主
然而，就純脆為知識而知識的角度，或是從數學這個學科本身而言，
圓錐曲線則為最基本而重要，且標化之後具有良好方程式的規則平面圖形
而且有許多良好的性質。並可用以推廣到三維空間中的一些基本曲面
此為知識本身固有的重要性
當然，不可否認，它們對於絕大多數的社會組學生(即便是部份自然組的學生)而言
就顯得不是那麼立即的具有重要性了
ps以一般社會組大學科系課程(微積分、統計)所需之高中數學而言
指、對數函數 = 多項函數 > 三角函數 > 圓錐曲線
(有的科系的微積分，即便三角函數也不太談‥)
以一般理工科大學科系課程(微積分、線代、工數微方、統計等)所需之高中數學而言
則這些基本函數與圓錐曲線則是各有不同的重要性
附上一些，有趣但一般數學教師多數不知的參考資料
圓錐曲線的命名，以及正焦弦的重要意義
http://highscope.ch.ntu.edu.tw/wordpress/?p=17498
http://highscope.ch.ntu.edu.tw/wordpress/?p=17473
更進一步的歷史意義，亦可尋找hpm的相關文章
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02/15 16:57, , 1F
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