Re: [解題] 國二 數學 勾股定理+因式分解，競賽題
※ 引述《kafsu (為何相遇)》之銘言：
: 1.年級：國二
: 2.科目：數學
: 3.章節：勾股定理+因式分解
: 4.題目：
: 有多少個不同的直角三角形，以2009^12為一條直角邊，且三邊都是整數？
: (全等三角形視為同一種三角形)
: 5.想法：
: c^2＝a^2＋2009^24
: c^2－a^2＝（c＋b）（c－b）
: ＝2009^24＝(7x7x41)^24=7^48‧41^24
: 共有(48+1)(24+1)=1225個正因數
: 可是還要考慮三邊整數、兩邊之和要大於第三邊等基本性質
: 該怎麼刪去得到正確答案?
令a,b,c為此直角三角形三邊，c為斜邊，b=2009^12
則c^2－a^2 = (c+a)(c-a) = b^2 = (2009^12) 且 c>a>0
=> (c+a)(c-a) = (2009^12)^2 = 2009^24 = 7^48*41^24
令X=c+a, Y=c-a
=> c=(X+Y)/2, a=(X-Y)/2
∵ X*Y = 7^48*41^24
=> X*Y = 7^48*41^24
=> X,Y有(48+1)(24+1)=1225個解 且 X,Y必為奇數
∵c>a>0
∴X>Y
=> X > 2009^12 > Y
∴ X的解為所有大於2009^12之正因數
Y的解為所有小於2009^12之正因數
=> 扣除2009^12這個正因數
X,Y的解共有(1225-1)/2=612組 且 X,Y必為奇數 .........(i)
=> a,c的解也一樣共有612組 .............................(ii)
=> 所以此種三角形共有612個
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從(i)推導得(ii)的地方也是可以證明的XD
因為只是國二而已，所以可以用說明的方式讓學生了解
如果是我我會這樣說明
把所有的正因數從小排大到
1, 7, 41, ...., 2009^12, ...., (2009^24)/41, (2009^24)/7, 2009^24
當每次從最右邊（最大）依序往左（變小）取X時
就會從最左邊（最小）依序往右（變大）得到Y
所以X,Y就會越來越接近
表示X-Y越來越小
=> a=(X-Y)/2 也就越來越小
所以每一組X,Y都會得到一個不同的a
也就得到一個不同的c
所以(X,Y)有幾組解，(a,c)就有幾組解
其實這一題主要在考學生能不能體會下面這個觀念
N的正因數個數可以分兩群：大於√N 以及 小於√N
這兩群的數量一定相同
因為 取任何一個大於√N 裡面的正因數，假設叫做A
那麼B=N/A一定落在 小於√N 的這一群之中(廢話0rz)
（題外話：如果√N也是正整數，那N的正因數個數一定是奇數）
這個觀念用上面那個正因數數列來觀察也可以很容易得到^^
正因數個數為奇數：以本題為例
1, 7, 41, ...., 2009^12, ...., (2009^24)/41, (2009^24)/7, 2009^24
└──612──┘ 1 └────────612────────┘
└─────────────1225──────────────┘
正因數個數為偶數：17^31, 正因數個數：(31+1)=32
1, 17, ..., 17^11, 17^12, ..., 17^30, 17^31
└───16───┘ └─────16────┘
P.S.當然因為本題b^2一定是完全平方，所以b^2的正因數個數必為奇數
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