Re: [解題] 高三 數學 極值
※ 引述《keith291 (keith)》之銘言：
: ※ 引述《a29831287 (劍逼)》之銘言：
: : 1.年級： 高三
: : 2.科目： 數學
: : 3.章節： 不確定 是申請大學二階段筆試題目
: : 4.題目：
: : a,b,c,d為正實數
: : 求 (a+b)/(a+b+c)+(b+c)/(b+c+d)+(c+d)/(c+d+a)+(d+a)/(d+a+b) 的極值
: : 5.想法：
: : 不知從何下手 因此就用MATLAB的GATOOL下去跑
: : 跑出來的結果如下
: : Max=3 四個值是 5.67009E-5, 18.48810805, 4.83059E-10, 24.13078954
: : Min=2 四個值是 49.17179031, 3.42225E-05, 3.52836E-05, 0.143103324
: min不可能為2
: (a+b)/(a+b+c)>(a+b)/(a+b+c+d) (c+d)/(c+d+a)>(c+d)/(c+d+a+b)
: (b+c)/(b+c+d)>(b+c)/(a+b+c+d) (d+a)/(d+a+b)>(d+a)/(d+a+b+c)
: 故有
: (a+b)/(a+b+c)+(b+c)/(b+c+d)+(c+d)/(c+d+a)+(d+a)/(d+a+b)>2(a+b+c+d)/(a+b+c+d)=2
: 原式恆大於2
: Max不可能為3
: (a+b)/(a+b+c)<(a+b+d)/(a+b+c+d) (c+d)/(c+d+a)<(c+d+b)/(c+d+a+b)
: (b+c)/(b+c+d)<(a+b+c)/(a+b+c+d) (d+a)/(d+a+b)<(d+a+c)/(d+a+b+c)
: 故有
: (a+b)/(a+b+c)+(b+c)/(b+c+d)+(c+d)/(c+d+a)+(d+a)/(d+a+b)<3(a+b+c+d)/(a+b+c+d)=3
: 原式恆小於3
: 結論:程式只能提供近似解,自己求比較實在
by the discussion above
3 > (a+b)/(a+b+c)+(b+c)/(b+c+d)+(c+d)/(c+d+a)+(d+a)/(d+a+b) > 2
take a=n^2 b=n c=1/n d=1/n^2 n>0
┌ lim (a+b)/(a+b+c)+(b+c)/(b+c+d)+(c+d)/(c+d+a)+(d+a)/(d+a+b) =1+1+0+1=3
│ n→∞
(*) ┤
│ lim (a+b)/(a+b+c)+(b+c)/(b+c+d)+(c+d)/(c+d+a)+(d+a)/(d+a+b) =0+0+1+1=2
└ n→0
hence,
there could not exist a maxima M < 3 or minima m > 2
such that M ≧ (a+b)/(a+b+c)+(b+c)/(b+c+d)+(c+d)/(c+d+a)+(d+a)/(d+a+b)
or (a+b)/(a+b+c)+(b+c)/(b+c+d)+(c+d)/(c+d+a)+(d+a)/(d+a+b) ≧ m
for any positive a,b,c,d since (*)
that is
(a+b)/(a+b+c)+(b+c)/(b+c+d)+(c+d)/(c+d+a)+(d+a)/(d+a+b) does not have extreme
value
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 61.228.24.19
推
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※ 編輯: keith291 來自: 61.228.24.19 (04/08 23:14)
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