Re: [解題] 高中數學 根與係數
※ 引述《lyndonxxx (lyndon)》之銘言：
: 1.年級：高三複習
: 2.科目：數學
: 3.章節：根與係數
: 4.題目：a、b、c是方程式 X^3-3X^2+4X+1=0 的三根，
: 則(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)之值？
: 5.想法：由根與係數關係，得 a+b+c=3
: ab+bc+ac=4
: abc=-1
: 將(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)化為
: [(a+b)^2-ab][(b+c)^2-bc][(c+a)^2-ca]
在這邊開始做變化
(a+b)^2-ab=(3-c)^2+(1/c)=9-6c+c^2+(1/c)
c^3-6c^2+9c+1
通分 =--------------- 其中c為方程式X^3-3X^2+4X+1=0的根
c
-3c^2+5c
所以c^3-3c^2+4c+1=0 ==>原式可變為 ---------- = -3c+5
c
其他兩式同理變為-3a+5，-3b+5
原式即為(-3c+5)(-3a+5)(-3b+5)=-27abc+45(ab+bc+ca)-75(a+b+c)+125
=27+180-225+125=107
沒檢查中間有沒有計算錯誤 但是這個方法是正確的
: 展成 (a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2-ab(b+c)^2(c+a)^2-bc(a+b)^2(c+a)^2
: -ca(a+b)^2(b+c)^2+a^2bc(b+c)^2+ab^2c(a+c)^2+abc^2(a+b)^2
: -a^2b^2c^2
: 頭尾都算出來了，但中間那幾項不知道要怎麼處理~"~
: 還是有更好的解法?
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◆ From: 114.40.22.216
推
11/15 03:04, , 1F
11/15 03:04, 1F
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