※ 引述《amst (analysis)》之銘言：
: 1.年級：高中二年級下學期
: 2.科目：數學
: 3.章節：南一版第四冊第三章第三節
: 4.主題：數學期望值
: 5.題目：
: 有一個箱子裡面放了三顆球
: 分別是紅色、藍色和黃色
: 現在阿嘉一次抽一顆球
: 取出來之後要再放回箱子裡面
: 請問阿嘉取完三種球的次數期望值為何？
: (一種顏色取到一次，直到三種顏色都抽到)
寫在前面 這是除了原PO所用的方法外 另一種解釋方式 (當然原PO的方式較快)
本法想法單純 計算極度複雜
想法為 (次數乘上機率) 之 總和 為期望值
=============================分隔線==============================================
於是將3次成功 4次 5次...之機率計算出來 如下
3次成功之機率 3! / 3^3 (3個不同花色排列) / 3異球拿3次
3! 3! 前三球 選2色後排列 *最後1球
4次之機率 ( ----+ -----)*3 / 3^4 ----------------------------
2!1! 1!2! 3異球拿四次
4! 4! 4!
5次.... (------ + ------ + ------ )*3 /3^5
3!1! 2!2! 1!3!
以下類推
================================分隔線============================================
3! 3!
看似機率無規律 但若將 4次括號中加入 ---- + ----- = 2 (前3球同色之情形數)
3!0! 0!3!
4! 4!
5次 ------+------ = 2 (前4球同色之情形數)
4!0! 0!4!
則括號內可改寫為 2^3 與2^4 (二項式定理)
則 3次完成機率不變 為 3!/3^3 = 2/9
4次完成 為[ (2^3)*3/3^4 ] - [(2)*3/3^4] = (2/3)^3 - 2(1/3^3)
5次完成 為[ (2^4)*3/3^5 ] - [(2)*3/3^5] = (2/3)^4 - 2(1/3^4)
以下以此類推
===============================分隔線=====================================
機率完成後 將次數乘入
4*[(2/3)^3 - 2(1/3^3)] = 4*(2/3)^3 - 4*2(1/3^3)
5*[(2/3)^4 - 2(1/3^4)] = 5*(2/3)^4 - 5*2(1/3^4)
...... = .........
+)
------------------------------------
S N
3次成功的另外算
3* (2/9) = 2/3
==============================分隔線=========================================
則 S = 4*(2/3)^3 + 5*(2/3)^4 + 6*(2/3)^5 + .......
(2/3)S = 4*(2/3)^4 + 5*(2/3)^5 + .......
-)________________________________________________
得 S = 16/3 同理得 N = 0.5
最後期望值 = 2/3 + S - N = 5.5
計算式超複雜的 大家參考看看 有錯的話還請指正
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