[解題] 高二下學期 數學期望值
1.年級：高中二年級下學期
2.科目：數學
3.章節：南一版第四冊第三章第三節
4.主題：數學期望值
5.題目：
有一個箱子裡面放了三顆球
分別是紅色、藍色和黃色
現在阿嘉一次抽一顆球
取出來之後要再放回箱子裡面
請問阿嘉取完三種球的次數期望值為何？
(一種顏色取到一次，直到三種顏色都抽到)
6.我的想法：
因為題目並沒有限定顏色的排列
所以第一次抽球的時候
絕對可以抽到我們要的球 (假設是黃色)
機率即為 1
因此次數期望值為 1 次
要抽到不同於第一次抽到的球
也就是要抽到另外兩種顏色 (紅色或藍色)
機率是 2/3
換句話說就是平均抽三次球會有兩次是紅色和藍色
相當於抽 1.5 次就可以抽到第二種顏色的球 (假設抽到紅色)
次數的期望值就是 1.5 次
要抽到最後一種顏色 (也就是藍色)
機率是1/3
也就是平均每抽三次會有一次抽到藍色
次數期望值即為 3 次
於是抽完三種色球的次數期望值為 1 + 1.5 + 3 = 5.5 次
我的疑問：
1.這題我不會用期望值的定義來算 (應該不是特殊題形不能用吧)
想請問若依照期望值的定義：事件發生的機率 ×事件對應的數值
要怎麼算？
2.我的家教學生說 1 次和 3 次的想法他可以接受
但是他無法理解 1.5 次為什麼會是答案
因為抽球就只有抽和不抽(視為抽 0 次)的兩種動作
抽球的次數不可能去抽 0.5 次這種非正整數的次數
這種問題我當場只回答他期望值是一種平均值的概念
所以會有小數出現是很正常的事
但是從他的表情可以看得出來他依然感到很疑惑
無奈我想不到更好的說法
因此想請問板友們有沒有比較容易讓學生理解的講法？
PS：我有用擲一次骰子的點數期望值是 3.5 來跟他說明期望值可以看成平均值
所以可以有小數
而且骰子也沒有 3.5 這種點數
因此次數的期望值為 5.5 次也很合理
但這種說法並沒有直接回答到學生的疑問
所以我感覺效果不大
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