Re: [解題] 高一數學"最高公因式與最低公倍式"
: 題目：設 a,b,c 為相異實數，且 abc 不為 0，
: 若 f(x) = ax^2 + bx + c 與
: g(x) = bx^2 + cx + a 有公因式，
: 求 a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = ？
cass I 有二次因式
則顯然的 a b c 系數比成等比例
- = - = -
b c a
則a=b=c 故a^3 + b^3 + c^3 - 3abc
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
=(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]/2
=(a+b+c)(0)=0
cass II 有一次因式
存在x-r
有 x-r | f(x) = ax^2 + bx + c
x-r | g(x) = bx^2 + cx + a
由餘式定理 f(r) = ar^2 + br + c = 0 ....(A)
g(r) = br^2 + cr + a = 0.....(B)
f(r)-g(r)=(a-b)r^2 + (b-c)r + (c-a) = 0....(C)
又因為假定為只存在一次因式 故r有唯一解
觀察其錯位 的r=1滿足(C)
故x-1為公因式 且f(1)=a+b+c=0
故a^3 + b^3 + c^3 - 3abc =(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
=(0)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0
綜合以上二情形 得a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0
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