Re: [考古] 元智100年 收斂區間
※ 引述《ayim (JOKE)》之銘言：
: 原題目為找出 Sigma [(2k)!/(k!)^2] * (x+1)^k
: 0~∞
: 收斂半徑算出來是 1/4
: 但是端點是階乘 斂散性不知道該怎麼判斷
: --> Sigma (2k)! / ((k!)^2)*(4^k)
: 比值判別法因為半徑就是這樣找的
: 所以算出來是 1 無法判定
: 請教各位大大了
若可以使用 Stirling's formula, 直接換掉判斷斂散性即可; 不使用的話,
∞ (2k)! 1
Σ ------*---:
k=0 (k!)^2 4^k
(2k)! (2k)(2k-1)...1 (2k-1)(2k-3)...1 (2k)(2(k-1))...1
------ = -------------- = ----------------------------------
(k!)^2 [k(k-1)...1]^2 k(k-1)...1*2^k k(k-1)....1*2^k
1 (2k-1)(2k-3)...3*1
= ---- ------------------
2k (2k-2)(2k-4)...2
≧ 1/2k
=> Σ(2k)! / [(k!)^2 * 4^k] ≧ Σ1/2k → ∞
-
這個端點也有另一種做法.
∞
為了方便, 原級數寫成 Σ(2k)!/((k!)^2) t^k. 二項式定理知, 在 (-1/4,1/4) 中,
k=0
原級數等於 (1-4t)^{-1/2}.
當 t→1/4, t<1/4 時, (1-4t)^{-1/2}→∞
但是若原級數在 t = 1/4 收斂, 則由 Abel's thm 知 (1-4t)^{-1/2} 於 t→1/4, t<1/4
的極限也應該存在(而且等於原級數收斂到的值.)
因 (1-4t)^{-1/2} 極限值不存在, 原級數不收斂.
∞ (2k)! 1
Σ ------*------:
k=0 (k!)^2 (-4)^k
這是交錯級數. 若我們能證明各項絕對值遞減且遞減到0, 那它就收斂.
絕對值遞減這很容易, 因為後項與前項絕對值之比 < 1; 那是否遞減到0?
(2k)! (2k-1)(2k-3)...1
注意 --------- = ---------------- = (1 - 1/2k)(1 - 1/(2k-2))...(1 - 1/2)
4^k(k!)^2 (2k)(2k-2)...1
k 1
= exp( Σlog(1 - ----) ).
t=0 2t
因為 lim log(1 - 1/(2x))／(-1/(2x)) = 1, 所以 exp 裡的級數與 Σ-1/(2k) 有
相同斂散性; 但後者發散到負無窮大, 所以 exp(Σlog) 趨近於0.
由交錯級數測試, 原級數在 -1/4 收斂.
-
_____________
或者, 由不等式 (2k-1)/(2k) < √(2k-1)/(2k+1) (展開得證), 我們得
(2k-1)(2k-3)...1 _____________ _____________ ___ ________
---------------- < √(2k-1)/(2k+1) √(2k-3)/(2k-1) ... √1/3 = √1/(2k+1) → 0
(2k)(2k-2)...1
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07/10 12:16, , 1F
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