Re: [考古] 中原100
※ 引述《box711 (御飯糰)》之銘言：
: ※ 引述《Eliphalet (真係廢到冇朋友)》之銘言：
: : 其實這沒很難啦 微積分課本的習題 (不過通常會給 hint XD )
: : Put u = x+y, v = x-y
: : => 1- xy =1 - (1/4)*(u^2 - v^2) |J(u,v)| = 2
: : 考慮積分區域, 得到原本的積分等於
: : 1 1
: : ∫ ∫ 2* [1 - (1/4)*(u^2 - v^2)]^(-1) dudv
: : 0 v
: : -1 1
: : + ∫ ∫ 2* [1 - (1/4)*(u^2 - v^2)]^(-1) dudv
: : 0 v
: : = ...
: 我就是後面這裡積不出來的
: 你有試積出來?
...換個方法看就不用切兩塊
0<=u<=1 , -u<= v <= u
1 u
∫ ∫ [1 - (1/4)*(u^2 - v^2)]^(-1) * (1/2) dv du
0 -u
1 u 4
= ∫ ∫ ------------------------ dv du
0 0 4 - u^2 + v^2
dx 1 -1 x
( ∫ ------------ = ----- tan ( ----- ) , a = sqrt( 4-u^2) )
x^2 + a^2 a a
1 4 -1 u
= ∫ ----------- * tan (------------ ) ( u = 2 sin x )
0 √(4- u^2) √(4- u^2)
π/6 4 -1
= ∫ --------- * tan ( tan x ) * 2 cos x
0 2 cos x
π/6
= ∫ 4x dx
0
= π^2 / 18
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