Re: [微分] 一題級數之斂散性判斷
看板trans_math作者PaulErdos (My brain is open)時間12年前 (2012/03/09 18:23)推噓2(2推 0噓 0→)留言2則, 2人參與討論串2/3 (看更多)
※ 引述《yoyooyooo (yoyoyoo)》之銘言:
: http://miupix.cc/pm-AVO7VR
: 如圖
: 最近被判斷斂散性搞的頭快昏了
: 這題我用ratio test做不出來..
ratio test:
n+1
[㏑(n+1)]
─────
(n+1)! ㏑(n+1) n
lim ────── = lim ───── [log (n+1)] = 0 < 1 , 收斂
n→∞ [㏑(n)]^n n→∞ n+1 n
───── ^^^^^^^^^^^^^
n! /
↙
n 1 n
lim [log (n+1)] ≦ lim (1+─) = e
n→∞ n n→∞ n
^^^^^^^^^^^^^^^^^^
/
↙
1 n 1 1/n 1 1/n 1+1/n
(1+─) < n => 1+─ < n => n+1=n(1+─) < n*n = n
n n n
1
=> log (n+1) < 1+─
n n
or
1 1
因 1+─ ↗ e , n ㏑(1+─) < 1
n n
n ( ㏑(n+1)-㏑n ) < 1 < ㏑n
n㏑(n+1)<(n+1)㏑n
n+1 1
=> log (n+1) < ─── = 1+─
n n n
root test:
㏑n ㏑n ㏑n (1+...+1/n)
lim ───── ≦ lim ─────── = lim ──────────
n→∞ (n!)^(1/n) n→∞ n n→∞ n
──────
1+...+1/n
幾何平均大於調和平均
㏑n (㏑n+1)
≦ lim ─────── = 0 <1
n→∞ n
n 1
Σ ≒ ㏑n+γ+ε ≒ ㏑n + 0.577... + ── < ㏑n + 1
k=1 n 2n
或是在 1/x 的積分 1到n的範圍下面接方格
便可得到 1/2+...+1/n < ㏑n
comparison test:
懶得打 n n
(㏑n) (㏑n)
lim ───── = lim ─── ≦ lim ─────────
n→∞ 1 n→∞ (n-2)! n→∞ n-2 n-2
──── (────── )
n(n-2) 1+...+1/(n-2)
2 ㏑n(㏑(n-2)+1) n-2
≦ lim (㏑n) (───────── )
n→∞ n-2
2 2
(㏑n) [㏑n(㏑(n-2)+1)] ㏑n(㏑(n-2)+1) n-4
= lim ─── ───────── [───────── ] = 0 < 1
n→∞ n-2 n-2 n-4
1
Σ ─── 收斂故原級數收斂
n(n-1)
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※ 編輯: PaulErdos 來自: 140.112.4.183 (03/09 18:40)
※ 編輯: PaulErdos 來自: 140.112.4.183 (03/09 18:43)
推
03/10 21:26, , 1F
03/10 21:26, 1F
推
03/10 22:37, , 2F
03/10 22:37, 2F
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