[積分]兩題重積分

看板trans_math作者 (alasa)時間15年前 (2011/04/06 12:53), 編輯推噓2(2推 0噓 26→)
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a a 1. ∫ ∫ [x^2+y^2+h^2]^(-1) dxdy, h is a constant -a -a a a 2. ∫ ∫ [x^2+y^2+h^2]^(-3/2) dxdy, h is a constant -a -a 有一題是吳銘士400題裡面求電場的積分 (213) 因為積分區域不是圓形所以換成極座標很不好算 這樣的題目要怎麼解?? -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 111.249.0.47
推
04/06 20:40, , 1F
把y^2+h^2先等於L^2 這很容易
04/06 20:40, 1F
→
04/06 20:41, , 2F
要積分y的時候在換出來
04/06 20:41, 2F
→
04/06 21:14, , 3F
用得出來嗎? http://ppt.cc/wfv~
04/06 21:14, 3F
推
04/06 22:36, , 4F
裡面可以化成 2 arctan( )
04/06 22:36, 4F
→
04/06 22:36, , 5F
在令 根號項為u則可以帶換
04/06 22:36, 5F
→
04/06 22:37, , 6F
可能還會在用到分布積分
04/06 22:37, 6F
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04/09 11:18, , 7F
第1題內層積分做出來後, (1/L)arctan(a/L)
04/09 11:18, 7F
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04/09 11:19, , 8F
的積分可能只能就定積分的特殊解法去考慮.
04/09 11:19, 8F
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04/09 11:19, , 9F
但第2題內層積分用同樣代換做出來後, 外層積
04/09 11:19, 9F
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04/09 11:20, , 10F
分應該可以順利做出來.
04/09 11:20, 10F
→
04/09 11:20, , 11F
雖然形式上都是 (x^2+y^2+h^2) 的乘冪, 但
04/09 11:20, 11F
→
04/09 11:21, , 12F
形式結果可能大不同. 第1題做不出來的方法,
04/09 11:21, 12F
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04/09 11:21, , 13F
不一定在第2題也無效.
04/09 11:21, 13F
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04/09 11:22, , 14F
又: 由於對 x 對 y 而言都是偶函數, 可以把
04/09 11:22, 14F
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04/09 11:23, , 15F
下限都換成 0, 結果再乘以 4 即是.
04/09 11:23, 15F
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04/09 11:24, , 16F
形似, 結果可能大不同.
04/09 11:24, 16F
→
04/10 01:22, , 17F
再仔細算一次, 發現第2題也有困難,
04/10 01:22, 17F
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04/10 01:22, , 18F
最後變成 1/√[(y^2+A^2)(y^2+B^2)] 形式的
04/10 01:22, 18F
→
04/10 01:23, , 19F
積分, 仍然找不到反導數的 closed form.
04/10 01:23, 19F
→
04/10 01:37, , 20F
切割成8等分, 考慮在 0≦y≦x≦a 的積分,
04/10 01:37, 20F
→
04/10 01:38, , 21F
用極座標變換, ∫∫f(x^2+y^2+h^2)dxdy
04/10 01:38, 21F
→
04/10 01:39, , 22F
變成 ∫∫f(r^2+h^2)rdrdθ,
04/10 01:39, 22F
→
04/10 01:40, , 23F
內層 r 範圍 [0, a*sec(θ)], 外層[0,π/4]
04/10 01:40, 23F
→
04/10 01:40, , 24F
f 可找到反導數 F, 則變成
04/10 01:40, 24F
→
04/10 01:41, , 25F
∫_[0,π/4] (1/2)F(a^2 sec^2(θ)+h^2) dθ
04/10 01:41, 25F
→
04/10 01:42, , 26F
這個是否積得出來我不知道...但這方法再不行
04/10 01:42, 26F
→
04/10 01:42, , 27F
我已黔驢技窮了.
04/10 01:42, 27F
→
06/21 02:00, , 28F
THANKS A LOT!
06/21 02:00, 28F
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